2 π -satsen

Inom matematiken anger 2 π -satsen av Gromov och Thurston ett tillräckligt villkor för att Dehn ska fylla på ett cusped hyperboliskt 3-grenrör för att resultera i en negativt krökt 3-grenrör.

Låt M vara ett cusped hyperboliskt 3-grenrör. Osammanhängande horoball- kvarter för varje kusp kan väljas. Gränserna för dessa stadsdelar är kvoter av horosfärer och har således euklidiska mått. En lutning, dvs oorienterad isotopiklass av enkla slutna kurvor på dessa gränser, har alltså en väldefinierad längd genom att ta den minimala euklidiska längden över alla kurvor i isotopklassen. 2 π -satsen säger: en Dehn-fyllning av M med varje fyllningslutning större än 2 π resulterar i ett 3-grenrör med en fullständig metrik av negativ tvärsnittskrökning. Faktum är att detta mått kan väljas för att vara identiskt med det ursprungliga hyperboliska mått utanför horoball-kvarteren.

Grundidén med beviset är att uttryckligen konstruera en negativt böjd metrik inuti varje horoball-kvarter som matchar metriken nära den horosfäriska gränsen. Denna konstruktion, med användning av cylindriska koordinater, fungerar när fyllningslutningen är större än 2 π . Se Bleiler & Hodgson (1996) för fullständiga detaljer.

Enligt geometriseringsförmodan måste dessa negativt krökta 3-grenrör faktiskt erkänna en fullständig hyperbolisk metrik. Ett horoball packningsargument på grund av Thurston visar att det finns som mest 48 backar att undvika på varje cusp för att få en hyperbolisk 3-gren. För enspets hyperboliska 3-grenrör ger en förbättring på grund av Colin Adams 24 exceptionella backar.

Detta resultat förbättrades senare oberoende av Ian Agol ( 2000 ) och Marc Lackenby ( 2000 ) med 6-satsen . "6-satsen" säger att Dehns fyllning längs sluttningar med en längd som är större än 6 resulterar i ett hyperboliskt 3-grenrör, dvs en irreducibel , atoroidal , icke- Seifert-fiber 3-grenrör med oändligt ord hyperbolisk fundamental grupp . Återigen om man antar geometriseringsförmodan , har dessa grenrör en komplett hyperbolisk metrik. Ett argument från Agol visar att det finns högst 12 exceptionella backar.

•   Agol, Ian (2000), "Bounds on exceptional Dehn filling", Geometry & Topology , 40 : 431–449, arXiv : math/9906183 , doi : 10.2140/gt.2000.4.431 , MR 679 .
•   Bleiler, Steven A.; Hodgson, Craig D. (1996), "Spherical space forms and Dehn filling", Topology , 35 (3): 809-833, doi : 10.1016/0040-9383(95)00040-2 , MR 1396779 .
•   Lackenby, Marc (2000), "Word hyperbolic Dehn surgery", Inventiones Mathematicae , 140 (2): 243–282, arXiv : math /9808120 , Bibcode : 2000InMat.140..243L , doi : 2070 01 00 01 00 01 2001. 56996 .