Återkommande kvantifieringsanalys

Recurrence quantification analysis ( RQA ) är en metod för icke-linjär dataanalys (jfr kaosteori ) för undersökning av dynamiska system . Den kvantifierar antalet och varaktigheten av upprepningar av ett dynamiskt system som presenteras av dess fasrumsbana .

Bakgrund

Återkommande kvantifieringsanalysen (RQA) utvecklades för att kvantifiera olika uppträdande återfallsdiagram (RPs), baserat på de småskaliga strukturerna däri. Upprepningsdiagram är verktyg som visualiserar upprepningsbeteendet för fasrumsbanan $displaystyle {\vec {x}}(i)}$ ( \ i dynamiska system

{R}(i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x }}(i)-{\vec {x}}(j)\|)

,

där $\Theta :\mathbf {R} \rightarrow \{0,1\}$ är Heaviside-funktionen och $\varepsilon$ en fördefinierad tolerans.

Återkommande plotter innehåller oftast enstaka punkter och linjer som är parallella med medeldiagonalen (identitetslinje, LOI ) eller som är vertikala/horisontella. Linjer parallella med LOI kallas diagonala linjer och de vertikala strukturerna som vertikala linjer . Eftersom en RP vanligtvis är symmetrisk, motsvarar horisontella och vertikala linjer varandra, och därför beaktas endast vertikala linjer. Linjerna motsvarar ett typiskt beteende för fasrymdsbanan: medan de diagonala linjerna representerar sådana segment av fasrymdsbanan som löper parallellt under en viss tid, representerar de vertikala linjerna segment som förblir i samma fasrymdsområde under en tid .

Om bara en tidsserie är tillgänglig kan fasutrymmet rekonstrueras genom att använda en tidsfördröjningsinbäddning (se Takens sats) :

{\vec {x}}(i)=(u( i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),

där $u(i)$ är tidsserien, $m$ inbäddningsdimensionen och $\tau$ tidsfördröjningen.

RQA kvantifierar de småskaliga strukturerna av återfallsdiagram, som visar antalet och varaktigheten av återfallen av ett dynamiskt system. De åtgärder som infördes för RQA utvecklades heuristiskt mellan 1992 och 2002 (Zbilut & Webber 1992; Webber & Zbilut 1994; Marwan et al. 2002). De är faktiskt mått på komplexitet . Den största fördelen med återfallskvantifieringsanalysen är att den kan ge användbar information även för korta och icke-stationära data, där andra metoder misslyckas.

RQA kan tillämpas på nästan alla typer av data. Det används flitigt inom fysiologi , men har också framgångsrikt tillämpats på problem från teknik , kemi , geovetenskap etc.

RQA-åtgärder

Det enklaste måttet är upprepningsfrekvensen , som är tätheten av upprepningspunkter i ett upprepningsdiagram:

{\text{RR}}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{R}(i,j).

Återfallsfrekvensen motsvarar sannolikheten att ett specifikt tillstånd återkommer. Det är nästan lika med definitionen av korrelationssumman , där LOI exkluderas från beräkningen.

Nästa mått är procentandelen återkommande punkter som bildar diagonala linjer i upprepningsdiagrammet med minimal längd ℓ $\displaystyle \ell _{\min }}$ :

{\text{DET}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{ \min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =1}^{N}\ell P(\ell )}},

där $P(\ell )$ är frekvensfördelningen av längderna $\ell$ på de diagonala linjerna (dvs den räknar hur många instanser som har längden $\ell$ ) . Detta mått kallas determinism och är relaterat till det dynamiska systemets förutsägbarhet , eftersom vitt brus har en återkommande plot med nästan bara enstaka punkter och väldigt få diagonala linjer, medan en deterministisk process har en återkommande plot med väldigt få enstaka punkter men många långa diagonala linjer.

Antalet återkommande punkter som bildar vertikala linjer kan kvantifieras på samma sätt:

{\text{LAM}}={\frac {\sum _{v=v_{\min } }^{N}vP(v)}{\sum _{v=1}^{N}vP(v)}},

där $P(v)$ är frekvensfördelningen av längderna $v$ av de vertikala linjerna, som har minst en längd på $v_{\min }$ . Detta mått kallas laminaritet och är relaterat till mängden laminära faser i systemet ( intermittens) .

Längden på de diagonala och vertikala linjerna kan också mätas. Den genomsnittliga diagonala linjelängden

{\text{L}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\ min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}P(\ell )}}

är relaterat till förutsägbarhetstiden för det dynamiska systemet och fångsttiden , mäter den genomsnittliga längden på de vertikala linjerna,

TT={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP (v)}{\sum _{v=v_{\min }}^{N}P(v)}}

är relaterat till laminaritetstiden för det dynamiska systemet, dvs hur länge systemet förblir i ett specifikt tillstånd.

Eftersom längden på de diagonala linjerna är relaterad till tiden hur långa segment av fasrymdsbanan löper parallellt, dvs. på divergensbeteendet hos banorna, angavs det ibland att den reciproka av den maximala längden av de diagonala linjerna (utan LOI ) skulle vara en estimator för den positiva maximala Lyapunov-exponenten för det dynamiska systemet. Därför är den maximala diagonala linjelängden $L_{\max }$ eller divergensen

DIV={\frac {1}{L_{\max }}}

är också mått på RQA. Förhållandet mellan dessa mått och den positiva maximala Lyapunov-exponenten är dock inte så lätt som sagt, utan ännu mer komplex (för att beräkna Lyapunov-exponenten från en RP måste hela frekvensfördelningen av de diagonala linjerna beaktas). Divergensen kan ha trenden med den positiva maximala Lyapunov-exponenten, men inte mer. Dessutom kan även RP:er för processer med vitt brus ha en riktigt lång diagonal linje, men mycket sällan, bara med en ändlig sannolikhet. Därför kan divergensen inte återspegla den maximala Lyapunov-exponenten.

Sannolikheten $p(\ell )$ att en diagonal linje har exakt längd $ell }$ \ kan uppskattas från frekvensfördelningen $P(\ell )$ med $p(\ell )={\frac {P(\ell )}{\sum _{\ell =l_{\min }}^{N}P(\ell )}}$ . Shannon -entropin för denna sannolikhet,

{\text{ENTR}}=-\summa _{\ell =\ell _{\min }}^{N }p(\ell )\ln p(\ell ),

återspeglar komplexiteten i den deterministiska strukturen i systemet. Denna entropi beror dock känsligt på binnumret och kan därför skilja sig åt för olika realiseringar av samma process, såväl som för olika dataförberedelser.

Det sista måttet på RQA kvantifierar uttunningen av återfallsdiagrammet. Trenden är regressionskoefficienten för ett linjärt samband mellan tätheten av återkommande punkter i en linje parallell med LOI och dess avstånd till LOI . Mer exakt, överväg upprepningsfrekvensen i en diagonal linje parallell med LOI av avståndet k ( diagonalvis upprepningsfrekvens eller τ-recidivfrekvens ):

{\text{RR}}_{k}={\frac {1}{Nk}}\summa _{ji=k}^{Nk}{R}(i,j),

sedan definieras trenden av

{\text{ TREND}}={\frac {\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)(RR_{i}-\langle RR_{i}\ rangle )}{\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)^{2}}},

med $\langle \cdot \rangle$ som medelvärde och ${\tilde {N}}<N$ . Denna sistnämnda relation bör säkerställa att kanteffekterna av för låga återfallspunktstätheter i kanterna på återfallsdiagrammet undviks. Måtttrenden ger information om systemets stationaritet .

I likhet med $\tau$-återfallsfrekvensen kan de andra måtten baserade på diagonallinjerna (DET, L, ENTR) definieras diagonalt. Dessa definitioner är användbara för att studera inbördes samband eller synkronisering mellan olika system (med användning av upprepningsdiagram eller korsupprepningsdiagram) .

Tidsberoende RQA

Istället för att beräkna RQA-måtten för hela upprepningsdiagrammet, kan de beräknas i små fönster som rör sig över upprepningsdiagrammet längs LOI. Detta ger tidsberoende RQA-mått som tillåter detektering av t.ex. kaos-kaos-övergångar (Marwan et al. 2002). Notera: valet av fönstrets storlek kan starkt påverka mättrenden .

Exempel

Bifurkationsdiagram för logistikkartan.

RQA-mått på logistikkartan för olika inställningar av styrparametern a. Måtten RR och DET uppvisar maxima vid kaos-ordning/order-kaos-övergångar. Måttet DIV har en liknande trend som den maximala Lyapunov-exponenten (men det är inte samma sak!). Måttet LAM har maxima vid kaos-kaos-övergångar ( laminära faser , intermittens ).

Se även

Recurrence plot , ett kraftfullt visualiseringsverktyg för upprepningar i dynamiska (och andra) system.
Recurrence period density entropy , en informationsteoretisk metod för att sammanfatta återkommande egenskaper hos både deterministiska och stokastiska dynamiska system.
Ungefärlig entropi

Vidare läsning

Marwan, N. (2008). "En historisk granskning av återkommande plots" . European Physical Journal ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164....3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 .
Marwan, N., Romano, MC, Thiel, M., Kurths, J. (2007). "Återkommande plotter för analys av komplexa system". Fysiska rapporter . 438 (5–6): 237–329. Bibcode : 2007PhR...438..237M . doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 . {{ citera tidskrift }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
Marwan, N., Wessel, N., Meyerfeldt, U., Schirdewan, A., Kurths, J. (2002). "Återkommande plotbaserade mått på komplexitet och dess tillämpning på hjärtfrekvensvariationsdata". Fysisk granskning E . 66 (2): 026702. arXiv : physics/0201064 . Bibcode : 2002PhRvE..66b6702M . doi : 10.1103/PhysRevE.66.026702 . PMID 12241313 . {{ citera tidskrift }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
Marwan, N., Kurths, J. (2002). "Icke-linjär analys av bivariat data med korsupprepningsdiagram". Fysik Bokstäver A . 302 (5–6): 299–307. arXiv : fysik/0201061 . Bibcode : 2002PhLA..302..299M . doi : 10.1016/S0375-9601(02)01170-2 . {{ citera tidskrift }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
Webber Jr., CL, Zbilut, JP (1994). "Dynamisk bedömning av fysiologiska system och tillstånd med användning av återfallsplotstrategier". Journal of Applied Physiology . 76 (2): 965–973. doi : 10.1152/jappl.1994.76.2.965 . PMID 8175612 . {{ citera tidskrift }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
Zbilut, JP, Webber Jr., CL (1992). "Inbäddningar och förseningar härledda från kvantifiering av återfallsdiagram". Fysik Bokstäver A . 171 (3–4): 199–203. Bibcode : 1992PhLA..171..199Z . doi : 10.1016/0375-9601(92)90426-M . {{ citera tidskrift }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
Pratyasa Bhui; Nilanjan Senroy (2016). "Tillämpning av återkommande kvantifieringsanalys för dynamiska studier av kraftsystem". IEEE-transaktioner på kraftsystem . 31 (1): 581–591. Bibcode : 2016ITPSy..31..581B . doi : 10.1109/TPWRS.2015.2407894 . Pappersnr. TPWRS-01211-2014
Girault, J.-M. (2015). "Återkommande och symmetri av tidsserier: tillämpning för övergångsdetektering" ( PDF) . Kaos, solitoner och fraktaler . 77 : 11–28. Bibcode : 2015CSF....77...11G . doi : 10.1016/j.chaos.2015.04.010 .

externa länkar

http://www.recurrence-plot.tk/