Zeldovich–Taylor-flöde

Zeldovich-Taylor-flödet (även känt som Zeldovich-Taylor-expansionsvågen ) är den flytande rörelsen av gasformiga detonationsprodukter bakom Chapman-Jouguet- detonationsvågen . Flödet beskrevs oberoende av Yakov Zeldovich 1942 och GI Taylor 1950, även om GI Taylor utförde arbetet 1941 som cirkulerade i det brittiska ministeriet för inrikessäkerhet. Eftersom naturligt förekommande detonationsvågor i allmänhet är en Chapman-Jouguet- detonationsvåg , blir lösningen mycket användbar för att beskriva verkliga detonationsvågor.

Matematisk beskrivning

Betrakta en sfäriskt utgående Chapman-Jouguet- detonationsvåg som fortplantar sig med en konstant hastighet $D$ . Per definition, omedelbart bakom detonationsvågen, är gashastigheten lika med den lokala ljudhastigheten $\displaystyle c}$ med avseende på vågen. Låt $v(r,t)$ vara den radiella hastigheten för gasen bakom vågen, i en fast ram. Detonationen antänds vid $t=0$ vid $r=0$ . För $t>0$ måste gashastigheten vara noll i mitten $r=0$ och bör ta värdet $v=Dc$ vid detonationsplatsen $r=Dt$ . Vätskerörelsen styrs av de inviscid Euler-ekvationerna

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+v{\frac {\partial \rho }{\partial r}}&=-\rho \left({\frac {\partial v}{\partial r}}+{\frac {2v}{r}}\right),\\{\frac {\partial v}{\partial t}}+v {\frac {\partial v}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}},\\{\frac {\ partiell s}{\partial t}}+v{\frac {\partial s}{\partial r}}&=0\end{aligned}}

där $\rho$ är densiteten, $p$ är trycket och $s$ är entropin. Den sista ekvationen antyder att flödet är isentropiskt och därför kan vi skriva $c^{2}=dp/d\rho$ .

Eftersom det inte finns några längd- eller tidsskalor involverade i problemet, kan man leta efter en självliknande lösning av formen ${\displaystyle v(r,t)=v(\xi),p(r,t)=p(\xi) ,\,\rho (r,t)=\rho (\xi ),\,c(r,t)=c(\xi)} , där ξ = r / t {\displaystyle$ \ $}$ . De två första ekvationerna blir då

{\begin{aligned}(\xi - v)\rho '/\rho &=v'+2v/\xi ,\\(\xi -v)v'&=p'/\rho =c^{2}\rho '/\rho \end{ Justerat}}

där primtal betecknar differentiering med avseende på $\xi$ . Vi kan eliminera $\rho '/\rho$ mellan de två ekvationerna för att få en ekvation som bara innehåller $v$ och $c$ . På grund av det isentropiska tillståndet kan vi uttrycka ${\displaystyle \rho =\rho (c),\,p=p(c)} ,$ det vill säga vi kan ersätta $\rho ^{-1}d\rho /dx$ med $\rho ^{-1}c'd \rho /dc$ . Det här leder till

{\begin{aligned}(\xi -v){\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dc}}c'&=v'+2v/\xi , \\\left[{\frac {(\xi -v)^{2}}{c^{2}}}-1\right]v'&={\frac {2v}{\xi }}.\ end{aligned}}

För polytropiska gaser med konstant specifik värme har vi $\rho ^{-1}d\rho /dc=2/[(\ gamma -1)c]$ . Ovanstående uppsättning ekvationer kan inte lösas analytiskt, utan måste integreras numeriskt. Lösningen måste hittas för området $0\leq \xi \leq D$ som utsätts för villkoret $\xi -v=c$ vid $\xi =D.$

Funktionen $v(\xi )$ visar sig minska monotont från dess värde $v(D)=c(D)-D$ till noll vid ett ändligt värde på $\xi <D$ , där en svag diskontinuitet (det vill säga en funktion är kontinuerlig, men dess derivator kanske inte) existerar. Området mellan detonationsfronten och den efterföljande svaga diskontinuiteten är sällsynthetsflödet (eller expansionsflödet). Interiör till den svaga diskontinuiteten $v=0$ överallt.

Placering av den svaga diskontinuiteten

Av den andra ekvationen som beskrivs ovan följer att när $v=0$ , $\xi =c$ . Närmare bestämt, som $v\rightarrow 0$ , kan den ekvationen approximeras som

(\ln v)'=2c^{2}/[\xi (\xi ^{2}-c^{2})].

Som $v\rightarrow 0$ , $\ln v\rightarrow -\infty$ och $(\ln v)'\rightarrow \infty$ om $\xi$ minskar som $v\rightarrow 0$ . Den vänstra sidan av ekvationen ovan kan bli positiv oändlighet endast om $\xi \rightarrow c$ . Således, när $\xi$ minskar till värdet $\xi =c_{0}$ kommer gasen att stanna (här är ${\displaystyle c_{0}}$ ljudhastigheten motsvarande till $v=0$ ). Således inträffar sällsynthetsrörelsen för $c_{0}<\xi \leq D$ och det finns ingen flytande rörelse för $0\leq \xi \leq c_{0 }$ .

Beteende nära den svaga diskontinuiteten

Skriv om den andra ekvationen som

v{\frac {d\xi }{dv}}={\frac {1}{2}}\xi \left[{\frac {(\xi -v)^{2}}{c^ {2}}}-1\höger].

I närheten av den svaga diskontinuiteten, kvantiteterna till första ordningen (som $v,\,\xi -c_{0},\,c-c_{0}$ ) reducerar ovanstående ekvation till

v{\frac {d}{dv}}(\xi -c_{0})=(\xi -c_{0})-(v+c-c_{0}).

Vid denna punkt är det värt att nämna att störningar i gaser i allmänhet sprids med avseende på gasen vid den lokala ljudhastigheten. Med andra ord, i den fasta ramen, sprids störningarna med hastigheten $v+c$ (den andra möjligheten är $vc$ även om den inte är av intresse här). Om gasen är i vila $v=0$ , då är störningshastigheten $c_{0}$ . Detta är bara en normal ljudvågsutbredning. Om emellertid $v$ inte är noll men en liten kvantitet, så hittar man korrigeringen för störningsutbredningshastigheten som $v+c=c_{0}+\alpha _{0}v$ erhålls med en Taylor-serieexpansion, där $\alpha _{0}$ är en nödvändigtvis en positiv konstant (för idealgas , $\alpha _{0}=(\gamma +1)/2$ , där $\gamma$ är det specifika värmeförhållandet ). Det betyder att ovanstående ekvation kan skrivas som

v{\frac {d}{dv}}(\xi -c_{0})-(\xi -c_{0} )=\alpha _{0}v

vems lösning är

\xi -c_{0}=\alpha _{0}v\ln(A/v)

där $A$ är en konstant. Detta bestämmer $v(\xi)$ implicit i närheten av veckans diskontinuitet där $v$ är liten. Denna ekvation visar att vid $\xi =c_{0}$ , $v=0$ , $dv/d\xi =0$ , men alla högre ordningens derivat är diskontinuerliga. I ovanstående ekvation subtraherar du $v+c-c_{0}$ från vänster sida och $\alpha _{0}v$ från höger sida till erhålla

\xi -vc=(\xi -c_{0}) -(v+c-c_{0})=\alpha _{0}v[\ln(A/v)-1]

vilket innebär att $\xi -v>c$ om $v$ är en liten kvantitet. Det kan visas att relationen $\xi -v>c$ inte bara gäller för små ${\displaystyle v} ,$ utan genom hela sällsynthetsvågen.

Beteende nära detonationsfronten

Låt oss först visa att relationen $\xi -v>c$ inte bara är giltig nära den svaga diskontinuiteten, utan i hela regionen. Om denna olikhet inte bibehålls, måste det finnas en punkt där $\xi -v=c,\,v\neq 0$ mellan den svaga diskontinuiteten och detonationsfronten. Den andra styrande ekvationen innebär att vid denna punkt måste ${\displaystyle v'} vara oändlig eller,$ $d\xi /dv=0$ . Låt oss få $d^{2}\xi /dv^{2}$ genom att ta andraderivatan av den styrande ekvationen. I den resulterande ekvationen, inför villkoret $\xi -v=c,\,v\neq 0,\,d\xi /dv=0$ för att erhålla $d^{2}\xi /dv^{2}=-\alpha _{0}\xi /c_{0}v\ neq 0$ . Detta innebär att $\xi (v)$ når ett maximum vid denna punkt, vilket i sin tur innebär att $v(\xi )$ inte kan existera för ${\displaystyle \xi } större än den maximala punkten som anses vara eftersom$ $v(\xi )$ annars skulle ha flera värden. Maxpunkten kan som mest motsvaras av den yttre gränsen (detonationsfronten). Detta betyder att $\xi -vc$ bara kan försvinna på gränsen och det är redan visat att $\xi -vc$ är positivt nära den svaga diskontinuiteten, $\xi -vc$ är positiv överallt i regionen utom gränserna där den kan försvinna.

Observera att nära detonationsfronten måste vi uppfylla villkoret $\xi -v=c,\,v\neq 0$ . Värdet utvärderat vid $\xi =D$ för funktionen ${\displaystyle \xi -v} ,$ dvs. $Dv(D)$ är inget annat än detonationsfrontens hastighet i förhållande till gashastigheten bakom den. För en detonationsfront måste villkoret $Dv(D)\leq c(D)$ alltid uppfyllas, där likhetstecknet representerar Chapman–Jouguet-detonationer och ojämlikheterna representerar överdrivna detonationer. Analysen som beskriver punkten $\xi -v=c,\,v\neq 0$ måste motsvara detonationsfronten.

Se även