YBC 7289

YBC 7289 är en babylonisk lertavla känd för att innehålla en exakt sexagesimal approximation till kvadratroten ur 2, längden på diagonalen av en enhetskvadrat . Detta nummer ges till motsvarande sex decimalsiffror, "den största kända beräkningsnoggrannheten ... i den antika världen". Tavlan tros vara ett verk av en student i södra Mesopotamien från någon tid mellan 1800 och 1600 f.Kr. Den donerades till Yale Babylonian Collection av JP Morgan .

Innehåll

Babylonisk lertavla YBC 7289 med anteckningar. Diagonalen visar en approximation av kvadratroten ur 2 i fyra sexagesimala siffror, 1 24 51 10, vilket är bra till ungefär sex decimalsiffror . 1 + 24/60 + 51/60 ² + 10/60 ³ = 1,41421296... Tabletten ger också ett exempel där en sida av kvadraten är 30, och den resulterande diagonalen är 42 25 35 eller 42,4263888...

Tabletten föreställer en kvadrat med sina två diagonaler. Ena sidan av kvadraten är märkt med det sexagesimala talet 30. Diagonalen på kvadraten är märkt med två sexagesimala tal. Den första av dessa två, 1;24,51,10 representerar talet 305470/216000 ≈ 1,414213, en numerisk approximation av kvadratroten ur två som är mindre än en del på två miljoner. Det andra av de två talen är 42;25,35 = 30547/720 ≈ 42.426. Detta tal är resultatet av att multiplicera 30 med den givna approximationen till kvadratroten ur två, och approximerar längden på diagonalen för en kvadrat med sidolängden 30.

Eftersom den babyloniska sexagesimala notationen inte angav vilken siffra som hade vilket platsvärde, är en alternativ tolkning att talet på sidan av kvadraten är 30/60 = 1/2. Enligt $\displaystyle 1/{\sqrt {2}}} ,$ alternativa tolkning är talet på diagonalen 30547/43200 ≈ 0,70711, en nära numerisk approximation av längden på diagonalen för en kvadrat med sidolängd 1/2, det är också mindre än en del på två miljoner. David Fowler och Eleanor Robson skriver: "Därför har vi ett ömsesidigt talpar med en geometrisk tolkning...". De påpekar att även om betydelsen av ömsesidiga par i babylonisk matematik gör denna tolkning attraktiv, finns det skäl till skepsis.

Baksidan är delvis raderad, men Robson tror att den innehåller ett liknande problem när det gäller diagonalen för en rektangel vars två sidor och diagonal är i förhållandet 3:4:5.

Tolkning

Även om YBC 7289 ofta avbildas (som på bilden) med kvadraten orienterad diagonalt, skulle de babyloniska standardkonventionerna för att rita rutor ha gjort sidorna av kvadraten vertikala och horisontella, med den numrerade sidan överst. Den lilla runda formen på tavlan, och den stora skriften på den, antyder att det var en "handtavla" av en typ som vanligtvis används för grovarbete av en elev som skulle hålla den i handflatan. Eleven skulle sannolikt ha kopierat det sexagesimala värdet av kvadratroten ur 2 från en annan tablett, men en iterativ procedur för att beräkna detta värde kan hittas i en annan babylonisk tablett, BM 96957 + VAT 6598.

Den matematiska betydelsen av denna tablett erkändes först av Otto E. Neugebauer och Abraham Sachs 1945. Tabletten "uppvisar den största kända beräkningsnoggrannheten som erhållits någonstans i den antika världen", motsvarande sex decimalsiffror för noggrannhet. Andra babyloniska tabletter inkluderar beräkningar av arean av hexagoner och heptagoner , som involverar approximation av mer komplicerade algebraiska tal som ${\sqrt {3}}$ . Samma nummer ${\sqrt {3}}$ kan också användas i tolkningen av vissa forntida egyptiska beräkningar av pyramidernas dimensioner. Den mycket större numeriska precisionen hos siffrorna på YBC 7289 gör det dock tydligare att de är resultatet av en allmän procedur för att beräkna dem, snarare än att bara vara en uppskattning.

Samma sexagesimala approximation till ${\displaystyle {\sqrt {2}}} ,$ 1;24,51,10, användes mycket senare av den grekiske matematikern Claudius Ptolemaios i hans Almagest . Ptolemaios förklarade inte var denna uppskattning kom ifrån och den kan antas ha varit välkänd vid hans tid.

Proveniens och kuration

Det är okänt var i Mesopotamien YBC 7289 kommer ifrån, men dess form och skrivstil gör det troligt att det skapades i södra Mesopotamien, någon gång mellan 1800BC och 1600BC. Yale University förvärvade den 1909 som en donation från dödsboet efter JP Morgan , som hade samlat många babyloniska tabletter; hans legat blev Yale Babylonian Collection .

På Yale har Institute for Preservation of Cultural Heritage tagit fram en digital modell av surfplattan, lämplig för 3D-utskrift .

Se även