Witts teorem

"Witt's theorem" eller "the Witt theorem" kan också hänvisa till Bourbaki–Witts fixpunktssats för ordningsteorin.

Inom matematiken är Witts teorem , uppkallad efter Ernst Witt , ett grundläggande resultat i den algebraiska teorin om kvadratiska former : vilken isometri som helst mellan två delrum av ett icke-singular kvadratiskt rymd över ett fält k kan utökas till en isometri av hela rummet. Ett analogt uttalande gäller också för skev-symmetriska, hermitiska och skev-hermitiska bilinjära former över godtyckliga fält. Satsen gäller klassificering av kvadratiska former över k och låter i synnerhet definiera Witt-gruppen W ( k ) som beskriver den "stabila" teorin om kvadratiska former över fältet k .

Påstående

Låt med ( V , b ) vara ett ändligt dimensionellt vektorrum över ett fält k av karakteristik som skiljer sig från 2 tillsammans en icke-degenererad symmetrisk eller skevsymmetrisk bilinjär form . Om f : U → U' är en isometri mellan två delrum av V så sträcker sig f till en isometri av V .

Witts teorem antyder att dimensionen av ett maximalt totalt isotropt delrum (nollrum) av V är en invariant, kallad index eller Witt-index för b , och dessutom att isometrigruppen av av ( V , b ) verkar transitivt på mängden maximala isotropa delrum. Detta faktum spelar en viktig roll i strukturteorin och representationsteorin för isometrigruppen och i teorin om reduktiva dubbla par .

Witts annulleringssats

Låt ( V , q ) , ( V ₁ , q ₁ ) , ( V ₂ , q ₂ ) vara tre kvadratiska mellanrum över ett fält k . Anta att

$(V_{1},q_{1})\oplus (V,q)\simeq (V_{2},q_{2})\oplus (V,q).$

Då är de kvadratiska utrymmena ( V ₁ , q ₁ ) och ( V ₂ , q ₂ ) isometriska:

$(V_{1},q_{1})\simeq (V_{2},q_{2}).$

Med andra ord kan den direkta summan ( V , q ) som uppträder på båda sidor av en isomorfism mellan kvadratiska rum "avbrytas".

Witts nedbrytningssats

Låt ( V , q ) vara ett kvadratiskt mellanrum över ett fält k . Sedan medger den en Witt-nedbrytning :

${\displaystyle (V,q)\simeq (V_{0},0)\oplus (V_$

där V ₀ ker q = _{. delat} , qh ) är är radikalen av q , _Vh ( Va , q _a ) är ett anisotropt kvadratiskt rymd och ( ett kvadratiskt rum Dessutom bestäms den anisotropa summan, kallad kärnformen , och den hyperboliska summan i en Witt-nedbrytning av ( V , q ) unikt upp till isomorfism.

Kvadratiska former med samma kärnform sägs vara liknande eller Witt-ekvivalenter .

Citat

• Emil Artin (1957) Geometrisk algebra , sid 121 via Internet Archive
•     Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduktion till kvadratiska former över fält , Graduate Studies in Mathematics , vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2 , MR 2104929 , Zbl 1068.11023
•    Lorenz, Falko (2008), Algebra. Volym II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics , Springer-Verlag , s. 15–27, ISBN 978-0-387-72487-4 , Zbl 1130.12001
•   O'Meara, O. Timothy (1973), Introduction to Quadratic Forms , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 117, Springer-Verlag , Zbl 0259.10018