Inom matematiken kommer Wiener-serien , eller Wiener G-funktionell expansion , från 1958 års bok av Norbert Wiener . Det är en ortogonal expansion för icke-linjära funktionaler som är nära besläktade med Volterra-serien och har samma relation till den som en ortogonal Hermite-polynomexpansion har till en potensserie . Av denna anledning är det också känt som Wiener-Hermite-expansionen . Analogen av koefficienterna kallas wienerkärnor . Termerna för serien är ortogonala (okorrelerade) med avseende på en statistisk ingång av vitt brus . Den här egenskapen gör att termerna kan identifieras i applikationer med Lee–Schetzen-metoden .
Wiener-serien är viktig för icke-linjär systemidentifiering . I detta sammanhang approximerar serien utdatans funktionella relation till hela historiken för systeminmatning när som helst. Wiener-serien har använts mest för identifiering av biologiska system, särskilt inom neurovetenskap .
Namnet Wienerserie används nästan uteslutande inom systemteorin . I den matematiska litteraturen förekommer det som Itô-expansionen (1951) som har en annan form men är helt likvärdig med den.
Wiener-serien ska inte förväxlas med Wiener-filtret , som är en annan algoritm som utvecklats av Norbert Wiener som används i signalbehandling.
Wiener G-funktionella uttryck
Givet ett system med ett ingångs/utgångspar där ingången är vitt brus med noll medelvärde och effekt A, vi kan skriva utdata från systemet som summan av en serie Wiener G-funktionaler
I det följande kommer uttrycken för G-funktionalerna upp till den femte ordningen att ges:
Wiener, Norbert (1958). Icke-linjära problem i slumpmässig teori . Wiley och MIT Press.
Lee och Schetzen; Schetzen‡, M. (1965). "Mätning av wienerkärnorna i ett icke-linjärt system genom korskorrelation". International Journal of Control . Först. 2 (3): 237–254. doi : 10.1080/00207176508905543 .
Itô K "En multipel Wiener-integral" J. Math. Soc. Jpn. 3 1951 157–169
![{\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9203f29478e73c5ab5163580b3bd3aab3f2469bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3433f80b66008362b9a97a6c615e43ec111abc63)