Wadasjöar

De första fem etapperna av sjöarna i Wada

Inom matematiken är sjöarna i Wada ( 和田の湖 , Wada no mizuumi ) tre osammanhängande öppna uppsättningar av planet eller öppen enhetskvadrat med den kontraintuitiva egenskapen att de alla har samma gräns . Med andra ord, för varje punkt vald på gränsen till en av sjöarna, innehåller de andra två sjöarnas gränser också den punkten.

Mer än två uppsättningar med samma gräns sägs ha Wada-egendomen ; exempel inkluderar Wada-bassänger i dynamiska system . Denna egenskap är sällsynt i verkliga system.

Wadasjöarna introducerades av Kunizō Yoneyama ( 1917 , sidan 60), som krediterade upptäckten till Takeo Wada . Hans konstruktion liknar konstruktionen av Brouwer (1910) av ett oupplösligt kontinuum , och i själva verket är det möjligt för den gemensamma gränsen för de tre uppsättningarna att vara ett oupplösligt kontinuum.

Konstruktion av sjöarna i Wada

Animation av att gräva sjöar fram till dag 5

Wadasjöarna bildas genom att börja med en sluten enhetskvadrat av torrt land och sedan gräva 3 sjöar enligt följande regel:

  • På dag n = 1, 2, 3,... utöka sjön n mod 3 (=0, 1, 2) så att den är öppen och sammankopplad och passerar inom ett avstånd 1/ n av all kvarvarande torr mark. Detta bör göras så att den återstående torra marken förblir homeomorf till en sluten enhetsruta.

Efter ett oändligt antal dagar är de tre sjöarna fortfarande osammanhängande öppna uppsättningar, och den återstående torra marken är gränsen för var och en av de tre sjöarna.

Till exempel kan de första fem dagarna vara (se bilden till höger):

  1. Gräv en blå sjö med bredd 1/3 som passerar inom √ 2/3 av allt torrt land.
  2. Gräv en röd sjö med bredd 1/3 2 som passerar inom √ 2 /3 2 av all torr mark.
  3. Gräv en grön sjö med bredd 1/3 3 som passerar inom √ 2 /3 3 av all torr mark.
  4. Förläng den blå sjön med en kanal med bredd 1/3 4 som passerar inom √ 2 /3 4 av allt torrt land. (Den lilla kanalen förbinder den tunna blå sjön med den tjocka, nära mitten av bilden.)
  5. Förläng den röda sjön med en kanal med bredd 1/3 5 som passerar inom √ 2 /3 5 av allt torrt land. (Den lilla kanalen förbinder den tunna röda sjön med den tjocka, nära den övre vänstra delen av bilden.)

En variant av denna konstruktion kan producera ett oräkneligt oändligt antal sammankopplade sjöar med samma gräns: istället för att förlänga sjöarna i ordningen 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., utöka dem i ordningen 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... och så vidare.

Wada bassänger

Newtonfraktal som bildar Wada-attraktionsbassänger för z 3 − 1 = 0; alla tre frånkopplade öppna bassänger har samma gräns

Wada-bassänger är vissa speciella attraktionsbassänger som studeras i matematiken för icke-linjära system . En bassäng som har egenskapen att varje grannskap av varje punkt på gränsen till den bassängen skär minst tre bassänger kallas en Wada-bassäng eller sägs ha Wada-egendomen . Till skillnad från sjöarna i Wada är Wada-bassängerna ofta frånkopplade.

Ett exempel på Wada-bassänger ges av Newton-fraktalen som beskriver attraktionsbassängerna för Newton-Raphson-metoden för att hitta rötterna till ett kubiskt polynom med distinkta rötter, såsom z 3 − 1; se bilden.

Wada bassänger i kaosteori

I kaosteorin uppstår Wada-bassänger mycket ofta. Vanligtvis kan Wada-egenskapen ses i bassängen för attraktion av dissipativa dynamiska system. Men utgångsbassängerna från Hamiltonska system kan också visa Wada-egendomen. I samband med den kaotiska spridningen av system med flera utgångar visar bassänger av utgångar Wada-egendomen. MAF Sanjuán et al. har visat att i Hénon–Heiles-systemet har utgångsbassängerna denna Wada-egenskap.

Se även

  • Brouwer, LEJ (1910), "Zur Analysis Situs" (PDF) , Mathematische Annalen , 68 (3): 422–434, doi : 10.1007/BF01475781
  • Yoneyama, Kunizô (1917), "Theory of Continuous Set of Points" , Tôhoku Mathematical Journal , 12 : 43–158

Vidare läsning

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lakes_of_Wada&oldid=1138513948 "