Volterra galler

Inom matematik är Volterra-gittret , även känt som den diskreta KdV-ekvationen , Kac –van Moerbeke-gittret och Langmuir-gittret , ett system av vanliga differentialekvationer med variabler indexerade med några av punkterna i ett 1-dimensionellt gitter . Den introducerades av Kac och van Moerbeke ( 1975 ) och Moser ( 1975 ) och är uppkallad efter Vito Volterra . Volterra-gittret är ett specialfall av den generaliserade Lotka-Volterra-ekvationen som beskriver interaktioner mellan rovdjur och bytesdjur, för en sekvens av arter med varje art som rovdjur på nästa i sekvensen. Volterra-gittret beter sig också som en diskret version av KdV-ekvationen . Volterra-gittret är ett integrerbart system och är relaterat till Toda-gittret . Den används också som modell för Langmuir-vågor i plasma.

Definition

Volterra-gittret är uppsättningen av vanliga differentialekvationer för funktioner a _n :

a _n ' = a _n ( a _{n +1} – a _{n –1} )

där n är ett heltal. Vanligtvis lägger man till randvillkor: till exempel kan funktionerna a _n vara periodiska: a _n = a _{n + N} för något N , eller kan försvinna för n ≤ 0 och n ≥ N .

Volterra-gittret angavs ursprungligen i termer av variablerna R _n = –log a _n i vilket fall ekvationerna är

Rn _' ^{- Rn _{-1 =}} e ^{- Rn _{+1 -}} e

•    Kac, M .; van Moerbeke, P. (1975), "Some probabilistic aspects of scattering theory" , i Arthurs, AM (red.), Functional integration and its applications (Proc. Internat. Conf., London, 1974) , Oxford: Clarendon Press, s. 87–96 , ISBN 978-0198533467 , MR 0481238
•   Kac, M.; van Moerbeke, Pierre (1975), "Om ett explicit lösligt system av icke-linjära differentialekvationer relaterade till vissa Toda-gitter." Advances in Mathematics , 16 (2): 160–169, doi : 10.1016/0001-8701(485) -6 , MR 0369953
•    Moser, Jürgen (1975), "Ändligt många masspunkter på linjen under påverkan av en exponentiell potential – ett integrerbart system." Dynamiska system, teori och tillämpningar (Rencontres, Battelle Res. Inst., Seattle, Wash., 1974 ) , Lecture Notes in Phys., vol. 38, Berlin: Springer, s. 467–497, doi : 10.1007/3-540-07171-7_12 , ISBN 978-3-540-07171-6 , MR 0455038