Vertex modell

En vertexmodell är en typ av statistisk mekanikmodell där Boltzmannvikterna är associerade med en vertex i modellen (som representerar en atom eller partikel). Detta står i kontrast till en närmaste granne-modell, såsom Ising-modellen , där energin, och därmed Boltzmann-vikten för ett statistiskt mikrotillstånd, tillskrivs bindningarna som förbinder två angränsande partiklar. Energin som är associerad med en vertex i partikelgittret är således beroende av tillståndet hos de bindningar som förbinder det med intilliggande hörn. Det visar sig att varje lösning av Yang–Baxter-ekvationen med spektrala parametrar i en tensorprodukt av vektorrum $V\otimes V$ ger en exakt lösbar vertexmodell.

En 2-dimensionell vertexmodell

Även om modellen kan appliceras på olika geometrier i valfritt antal dimensioner, med valfritt antal möjliga tillstånd för en given bindning, förekommer de mest fundamentala exemplen för tvådimensionella gitter, det enklaste är ett kvadratiskt gitter där varje bindning har två möjliga tillstånd. I denna modell är varje partikel kopplad till fyra andra partiklar, och var och en av de fyra bindningarna intill partikeln har två möjliga tillstånd, indikerade med pilens riktning på bindningen. I denna modell kan varje vertex anta $2^{4}$ möjliga konfigurationer. Energin för en given vertex kan ges av $k\ell }}$ { ,

En vertex i den kvadratiska gittervertexmodellen

med ett tillstånd av gittret är en tilldelning av ett tillstånd för varje bindning, där den totala energin för tillståndet är summan av vertexenergierna. Eftersom energin ofta är divergerande för ett oändligt gitter, studeras modellen för ett ändligt gitter när gittret närmar sig oändlig storlek. Periodiska eller domänväggsgränsvillkor kan åläggas modellen.

Diskussion

För ett givet tillstånd av gittret kan Boltzmannvikten skrivas som produkten över hörnen av Boltzmannvikterna för motsvarande vertextillstånd

\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))=\prod _{ \mbox{vertices}}\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

där Boltzmannvikterna för hörn är skrivna

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

,

och i , j , k , l intervallet över de möjliga tillstånden för var och en av de fyra kanterna som är fästa vid vertexen. Spetstillstånden för intilliggande hörn måste uppfylla kompatibilitetsvillkor längs förbindelsekanterna (bindningar) för att tillståndet ska vara tillåtet.

Sannolikheten för att systemet är i ett givet tillstånd vid en viss tidpunkt, och därmed systemets egenskaper bestäms av partitionsfunktionen , för vilken en analytisk form önskas.

\mathbb {Z} =\summa _{\mbox{tillstånd}}\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{tillstånd}}) )

där β= 1/kT , T är temperatur och k är Boltzmanns konstant . Sannolikheten att systemet är i ett givet tillstånd ( mikrotillstånd ) ges av

{\frac {\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))}{\mathbb {Z} }}

så att medelvärdet av systemets energi ges av

\langle \varepsilon \rangle ={\ {\mbox{stater}}\varepsilon \exp(-\beta \varepsilon )}{\sum _{\mbox{stater}}\exp(-\beta \varepsilon )}}=kT^{2}{\frac {\partial }{\partial T}}\ln \mathbb {Z}

För att utvärdera partitionsfunktionen, undersök först tillstånden för en rad med hörn.

En rad med hörn i den kvadratiska gittervertexmodellen

De yttre kanterna är fria variabler, med summering över de interna bindningarna. Skapa därför radpartitionsfunktionen

T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots l_{N}

Detta kan omformuleras i termer av ett extra n -dimensionellt vektorrum V , med basen $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ och $R\in End(V\otimes V)$ som

R(v_{i}\otider v_{j})=\summa _{k,\ell }R_ {ij}^{k\ell }v_{k}\otimes v_{\ell }

och $T\in End(V\otimes V^{\otimes N})$ som

T(v_{i_{1}}\otimes v_{k_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{k_{N}})=\summa _{i' _{1},\ell _{1},\dots \ell _{N}}T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{ 1}\dots \ell _{N}}v_{i'_{1}}\otimes v_{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\ell _{N}}

vilket innebär att T kan skrivas som

T=R_{0N}\cdots R_{02}R_{01}

där indexen indikerar faktorerna för tensorprodukten $V\otimes V^{\otimes N}$ som R verkar på. Att summera tillstånden för bindningarna i första raden med de periodiska randvillkoren ${\displaystyle i_{1}=i'_{1}} ,$ ger

(\operatörsnamn {spår} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{ \ell _{1}\dots \ell _{N}}

där $\tau =\operatörsnamn {spår} _{V}(T)$ är radöverföringsmatrisen.

Två rader av hörn i den kvadratiska gittervertexmodellen

Genom att summera bidragen över två rader blir resultatet

(\operatörsnamn {spår} _{V}( T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}(\operatörsnamn {spår} _{V}(T))_{j_ {1}\dots j_{N}}^{k_{1}\dots k_{N}}

som vid summering över de vertikala bindningarna som förbinder de två första raderna ger: $((\operatörsnamn {trace} _{V}( T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$

för M rader ger detta

((\operatörsnamn {spår} _{V}(T))^{M})_{\ell '_{1}\dots \ell '_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}

och sedan tillämpa de periodiska gränsvillkoren på de vertikala kolumnerna, kan partitionsfunktionen uttryckas i termer av överföringsmatrisen $\tau$ som

\mathbb {Z} =\operatörsnamn {spår} _{V^{\otimes N}}(\tau ^{M})\ sim \lambda _{max}^{M}

där $\lambda _{max}$ är det största egenvärdet för $\tau$ . Approximationen följer av det faktum att egenvärdena för $\tau ^{M}$ är egenvärdena för $\tau$ i potensen av M , och som $M\rightarrow \infty$ , kraften för det största egenvärdet blir mycket större än de andra. Eftersom spåret är summan av egenvärdena, reduceras problemet med att beräkna $\mathbb {Z}$ till problemet att hitta det maximala egenvärdet för $\tau$ . Detta i sig är ett annat studieområde. En standardmetod för problemet med att hitta det största egenvärdet för $\tau$ är dock att hitta en stor familj av operatorer som pendlar med $\tau$ . Detta innebär att egenutrymmena är gemensamma och begränsar det möjliga utrymmet för lösningar. En sådan familj av pendlingsoperatörer hittas vanligtvis med hjälp av Yang–Baxter-ekvationen , som alltså relaterar statistisk mekanik till studiet av kvantgrupper .

Integrerbarhet

Definition : En vertexmodell är integrerbar om, $\forall \mu ,\nu ,\exists \lambda$ så att

R_{12}(\lambda )R_{13}(\mu) R_{23}(\nu )=R_{23}(\nu )R_{13}(\mu )R_{12}(\lambda )

Detta är en parametriserad version av Yang-Baxter-ekvationen, motsvarande det möjliga beroendet av vertexenergierna, och därmed Boltzmann-vikterna R på externa parametrar, såsom temperatur, yttre fält, etc.

Integrerbarhetsvillkoret innebär följande relation.

Proposition : För en integrerbar vertexmodell, med $\lambda ,\mu$ och $\nu$ definierade enligt ovan, då

R(\lambda )( 1\otimes T(\mu ))(T(\nu )\otimes 1)=(T(\nu )\ibland 1)(1\ibland T(\mu ))R(\lambda )

som endomorfismer av ${\displaystyle V\otimes V\otimes V^{\otimes N}} ,$ där $R(\lambda )$ verkar på de två första vektorerna av tensorprodukt.

Det följer genom att multiplicera båda sidorna av ovanstående ekvation till höger med $R(\lambda )^{-1}$ och använda den cykliska egenskapen hos spåroperatorn som följande följd har.

Följd : För en integrerbar vertexmodell för vilken $R(\lambda )$ är inverterbar $\forall \lambda$ , överföringsmatrisen $\tau (\mu) )$ pendlar med $\tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu$ .

Detta illustrerar Yang-Baxter-ekvationens roll i lösningen av lösbara gittermodeller. Eftersom överföringsmatriserna $\tau$ pendlar för alla $\lambda ,\nu$ , är egenvektorerna för $\tau$ vanliga, och därmed oberoende av parametreringen. Det är ett återkommande tema som förekommer i många andra typer av statistiska mekaniska modeller att leta efter dessa pendlingsmatriser.

Av definitionen av R ovan följer det att för varje lösning av Yang–Baxter-ekvationen i tensorprodukten av två n -dimensionella vektorrum finns det en motsvarande 2-dimensionell lösbar vertexmodell där var och en av bindningarna kan vara i möjliga tillstånd $\{1,\ldots ,n\}$ , där R är en endomorfism i utrymmet som spänns av $\{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n$ . Detta motiverar klassificeringen av alla änddimensionella irreducerbara representationer av en given kvantalgebra för att hitta lösbara modeller som motsvarar den.

Anmärkningsvärda vertexmodeller

Modell med sex vertex
Modell med åtta hörn
Nitton-vertex-modell (Izergin-Korepin-modell)