Vektor fältrekonstruktion

Vektorfältrekonstruktion är en metod för att skapa ett vektorfält från experimentell eller datorgenererad data, vanligtvis med målet att hitta en differentialekvationsmodell av systemet.

En differentialekvationsmodell är en som beskriver värdet av beroende variabler när de utvecklas i tid eller rum genom att ge ekvationer som involverar dessa variabler och deras derivator med avseende på några oberoende variabler , vanligtvis tid och/eller rum. En vanlig differentialekvation är en där systemets beroende variabler är funktioner av endast en oberoende variabel. Många fysikaliska, kemiska, biologiska och elektriska system är väl beskrivna med vanliga differentialekvationer. Ofta antar vi att ett system styrs av differentialekvationer, men vi har inte exakt kunskap om olika faktorers inverkan på systemets tillstånd. Till exempel kan vi ha en elektrisk krets som i teorin beskrivs av ett system av vanliga differentialekvationer, men på grund av toleransen hos motstånd , variationer i matningsspänningen eller störningar från yttre påverkan vet vi inte de exakta parametrarna för systemet . För vissa system, särskilt de som stöder kaos , kan en liten förändring i parametervärden orsaka en stor förändring i systemets beteende, så en korrekt modell är extremt viktig. Därför kan det vara nödvändigt att konstruera mer exakta differentialekvationer genom att bygga upp dem utifrån den faktiska systemets prestanda snarare än en teoretisk modell. Helst skulle man mäta alla dynamiska variabler som är involverade under en längre tidsperiod, med hjälp av många olika initiala förhållanden , och sedan bygga eller finjustera en differentialekvationsmodell baserat på dessa mätningar.

I vissa fall kanske vi inte ens vet tillräckligt om processerna i ett system för att ens kunna formulera en modell. I andra fall kan vi ha tillgång till endast en dynamisk variabel för våra mätningar, dvs vi har en skalär tidsserie . Om vi ​​bara har en skalär tidsserie måste vi använda metoden för tidsfördröjning inbäddning eller derivata koordinater för att få en tillräckligt stor uppsättning dynamiska variabler för att beskriva systemet.

I ett nötskal, när vi väl har en uppsättning mätningar av systemtillståndet under en viss tidsperiod, hittar vi derivatorna av dessa mätningar, vilket ger oss ett lokalt vektorfält, och bestämmer sedan ett globalt vektorfält som överensstämmer med detta lokala fält. Detta görs vanligtvis genom att minsta kvadrater passar till derivatdata.

Formulering

I bästa möjliga fall har man dataströmmar av mätningar av alla systemvariabler, lika fördelade i tid, t.ex.

s ₁ (t), s ₂ (t), ... , s _k (t)

för

t = t ₁ , t ₂ ,..., t _n ,

med början vid flera olika initiala förhållanden. Sedan består uppgiften att hitta ett vektorfält, och därmed en differentialekvationsmodell av att anpassa funktioner, till exempel en kubisk spline , till data för att erhålla en uppsättning kontinuerliga tidsfunktioner

x ₁ (t), x ₂ (t), ... , x _k (t),

beräkna tidsderivatorna dx ₁ /dt, dx ₂ /dt,...,dx _k /dt av funktionerna, och sedan få minsta kvadrater att passa med hjälp av någon sorts ortogonala basfunktioner ( ortogonala polynom , radiella basfunktioner , etc.) varje komponent i tangentvektorerna för att hitta ett globalt vektorfält. En differentialekvation kan sedan läsas av det globala vektorfältet.

Det finns olika metoder för att skapa basfunktioner för minsta kvadrater. Den vanligaste metoden är Gram-Schmidt-processen . Vilket skapar en uppsättning ortogonala basvektorer, som sedan enkelt kan normaliseras. Denna metod börjar med att först välja valfri standardbas β={v ₁ , v ₂ ,...,v _n }. Ställ sedan in den första vektorn v ₁ =u ₁ . Sedan sätter vi u ₂ =v ₂ -proj _{u 1} v ₂ . Denna process upprepas till för k vektorer, _där den slutliga vektorn är uk ₌ vk _-Σ ( _j=1) ( ^k-1) proj _{uk vk} . Detta skapar sedan en uppsättning ortogonala standardbasvektorer.

Anledningen till att använda en standard ortogonal bas snarare än en standardbas härrör från skapandet av minsta kvadraters anpassning som görs härnäst. Att skapa en minsta kvadraters passning börjar med att anta någon funktion, i fallet med rekonstruktionen ett polynom i n:e ^grad , och anpassa kurvan till data med hjälp av konstanter. Noggrannheten av passningen kan ökas genom att öka graden av polynomet som används för att passa data. Om en uppsättning icke-ortogonala standardbasfunktioner användes, blir det nödvändigt att räkna om de konstanta koefficienterna för funktionen som beskriver anpassningen. Men genom att använda den ortogonala uppsättningen basfunktioner är det inte nödvändigt att räkna om de konstanta koefficienterna.

Ansökningar

Vektorfältrekonstruktion har flera tillämpningar och många olika tillvägagångssätt. Vissa matematiker har inte bara använt radiella basfunktioner och polynom för att rekonstruera ett vektorfält, utan de har använt Lyapunov-exponenter och singularvärdesupplösning . Gouesbet och Letellier använde en multivariat polynomapproximation och minsta kvadrater för att rekonstruera sitt vektorfält. Denna metod tillämpades på Rössler-systemet och Lorenz-systemet , såväl som termiska linsoscillationer.

Rossler-systemet, Lorenz-systemet och termisk linsoscillation följer differentialekvationerna i standardsystem som

X'=Y, Y'=Z och Z'=F(X,Y,Z)

där F(X,Y,Z) är känd som standardfunktionen.

Implementeringsfrågor

I vissa situationer är modellen inte särskilt effektiv och svårigheter kan uppstå om modellen har ett stort antal koefficienter och visar en divergerande lösning. Till exempel ger icke-autonoma differentialekvationer de tidigare beskrivna resultaten. I detta fall ger modifieringen av standardmetoden vid tillämpning ett bättre sätt att vidareutveckla global vektorrekonstruktion.

Vanligtvis är systemet som modelleras på detta sätt ett kaotiskt dynamiskt system , eftersom kaotiska system utforskar en stor del av fasrummet och uppskattningen av den globala dynamiken baserat på den lokala dynamiken blir bättre än med ett system som endast utforskar en liten del av utrymmet.

Ofta har man bara en enda skalär tidsseriemätning från ett system som är känt för att ha mer än en frihetsgrad . Tidsserien kanske inte ens kommer från en systemvariabel, utan kan istället för en funktion av alla variabler, såsom temperatur i en omrörd tankreaktor som använder flera kemiska arter. I detta fall måste man använda tekniken för fördröjningskoordinatinbäddning , där en tillståndsvektor som består av data vid tidpunkten t och flera fördröjda versioner av data konstrueras.

En omfattande genomgång av ämnet finns tillgänglig från