Variationsintegratör

Variationsintegratörer är numeriska integratörer för Hamiltonska system härledda från Euler-Lagrange-ekvationerna av en diskretiserad Hamiltons princip . Variationsintegratörer är momentumbevarande och symplektiska .

Härledning av en enkel variationsintegrator

Betrakta ett mekaniskt system med en enda partikelfrihetsgrad som beskrivs av Lagrangian

$L(t,q,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V( q),$

där $m$ är partikelns massa och $V$ är en potential. För att konstruera en variationsintegrator för detta system börjar vi med att bilda den diskreta Lagrangian . Den diskreta lagrangianen approximerar åtgärden för systemet över ett kort tidsintervall:

${\begin{aligned}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})&={\frac {t_{1}-t_{0}} {2}}\left[L\left(t_{0},q_{0},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right) +L\left(t_{1},q_{1},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)\right]\\& \approx \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t)).\end{aligned}}$

Här har vi valt att approximera tidsintegralen med trapetsmetoden, och vi använder en linjär approximation till banan,

$q(t)\approx {\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_ {0}}}(t-t_{0})+q_{0}$

mellan $t_{0}$ och $t_{1}$ , vilket resulterar i en konstant hastighet $v\approx \left (q_{1}-q_{0}\right)/\left(t_{1}-t_{0}\right)$ . Olika val för approximationen till banan och tidsintegralen ger olika variationsintegratorer. Integratorns noggrannhetsordning styrs av noggrannheten i vår approximation till handlingen; eftersom

$L_{d }(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q( t),v(t))+{\mathcal {O}}(t_{1}-t_{0})^{2},$

vår integratör kommer att vara andra ordningens korrekta.

Evolutionsekvationer för det diskreta systemet kan härledas från en stationär verkansprincip. Den diskreta åtgärden över ett förlängt tidsintervall är en summa av diskreta lagrangianer över många delintervall:

$S_{d}=L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})+L_{d}(t_{1},t_{2},q_ {1},q_{2})+\cdots .$

Principen för stationär verkan säger att åtgärden är stationär med avseende på variationer av koordinater som lämnar ändpunkterna för banan fixerade. Så, genom att variera koordinaten $q_{1}$ , har vi

${\frac {\partial S_{d}}{\partial q_{1}}}=0={\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_ {0},t_{1},q_{0},q_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{1}, t_{2},q_{1},q_{2}\höger).$

Givet ett initialt villkor $(q_{0},q_{1})$ och en sekvens av gånger $(t_{0},t_ {1},t_{2})$ detta ger en relation som kan lösas för $q_{2}$ . Lösningen är

$q_{2}=q_{1}+{\frac {t_{2}-t_{1}}{t_{1}-t_{0}}}(q_{1}-q_{0}) -{\frac {(t_{2}-t_{0})(t_{2}-t_{1})}{2m}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1 }).$

Vi kan skriva detta i en enklare form om vi definierar det diskreta momentet,

$p_{0}\equiv -{\frac {\partial }{\partial q_{0}}}L_{d}( t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})$

och

$p_{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}) .$

Givet ett initialt tillstånd ${\displaystyle (q_{0},p_{0})} ,$ är det stationära åtgärdsvillkoret ekvivalent med att lösa den första av dessa ekvationer för $q_{1}$ , och sedan bestämma $p_{1}$ med den andra ekvationen. Detta utvecklingsschema ger

$q_{1}=q_{0}+{\frac {t_{1}- t_{0}}{m}}p_{0}-{\frac {(t_{1}-t_{0})^{2}}{2m}}{\frac {d}{dq_{0}} }V(q_{0})$

och

$p_{1}=m{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}-{\frac {t_{1}-t_{0}} {2}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).$

Detta är ett språngintegrationsschema för systemet; två steg i denna utveckling motsvarar formeln ovan för $q_{2}$

Se även

• Lie gruppintegratör

• E. Hairer, C. Lubich och G. Wanner. Geometrisk numerisk integration . Springer, 2002.
• J. Marsden och M. West. Diskret mekanik och variationsintegratörer . Acta Numerica, 2001, s. 357–514.