Varadhans lemma
Inom matematik är Varadhans lemma ett resultat av teorin om stora avvikelser uppkallad efter SR Srinivasa Varadhan . Resultatet ger information om den asymptotiska fördelningen av en statistisk φ ( Z ε ) för en familj av stokastiska variabler Z ε när ε blir liten i termer av en hastighetsfunktion för variablerna.
Uttalande av lemma
Låt X vara ett regelbundet topologiskt rum ; låt ( Z ε ) ε >0 vara en familj av slumpvariabler som tar värden i X ; låt μ ε vara lagen ( sannolikhetsmått ) för Z ε . Antag att ( μ ε ) ε >0 uppfyller principen om stor avvikelse med bra hastighetsfunktion I : X → [0, +∞]. Låt ϕ : X → R vara vilken kontinuerlig funktion som helst . Antag att minst ett av följande två villkor gäller: antingen svanstillståndet
![{\displaystyle \lim _{M\to \infty }\limsup _{\varepsilon \to 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\phi (Z_{\varepsilon })/\varepsilon {\big )}\,\mathbf {1} {\big (}\phi (Z_{\varepsilon })\geq M{\big )}{\big ]}{\big )}=-\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1fa773e25e0d31746179ca5ff3690fb05527f4)
där 1 ( E ) anger indikatorfunktionen för händelsen E ; eller, för vissa γ > 1 , momentvillkoret
![{\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\gamma \phi (Z_{\varepsilon })/\varepsilon {\big )}{\big ]}{\big )}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675a2751ed70c2451a640a74eac63b103cf83d50)
Sedan
![{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\phi (Z_{\varepsilon })/\varepsilon {\big )}{\big ]}=\sup _{x\in X}{\big (}\phi (x)-I(x){\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba100808619b3d7847eb4c143dacb949c6ac093)
Se även
- Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Stora avvikelser tekniker och tillämpningar . Applications of Mathematics (New York) 38 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. s. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2 . MR 1619036 . (Se sats 4.3.1)