Vakhitov–Kolokolov stabilitetskriterium

Vakhitov –Kolokolov stabilitetskriteriet är ett villkor för linjär stabilitet (ibland kallad spektral stabilitet ) för solitära våglösningar till en bred klass av U(1)-invarianta hamiltonsystem , uppkallade efter de sovjetiska vetenskapsmännen Aleksandr Kolokolov (Александр Александр Александр Александр) och Vakhitov-Kolokolov. (Назиб Галиевич Вахитов). Villkoret för linjär stabilitet för en solitär våg $u(x,t)=\phi _{\omega }(x)e^{- i\omega t}$ med frekvens $\omega$ har formen

${\frac {d}{d\omega }}Q(\omega )<0,$

där $Q(\omega )\,$ är laddningen (eller rörelsemängden ) för den solitära vågen $\phi _{\omega }(x) e^{-i\omega t}$ , bevarad av Noethers sats på grund av systemets U (1)-invarians.

Ursprunglig formulering

Ursprungligen erhölls detta kriterium för den olinjära Schrödinger-ekvationen ,

$i{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)+g(|u (x,t)|^{2})u(x,t),$

där $x\in \mathbb {R}$ , $t\in \mathbb {R}$ , och $g\in C^{ \infty }(\mathbb {R} )$ är en jämn funktion med verkligt värde . Lösningen $u(x,t)$ antas vara komplex -värderad. Eftersom ekvationen är U (1)-invariant, enligt Noethers sats , har den en integral av rörelse , ${\textstyle Q(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }|u(x,t)|^{2}\,dx} , vilket$ är kallas laddning eller momentum , beroende på vilken modell som avses. För en bred klass av funktioner $g$ tillåter den olinjära Schrödinger-ekvationen solitära våglösningar av formen $u(x,t) =\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}$ , där $\omega \in \mathbb {R}$ och $\phi _{\omega }(x)$ avklingar för stora $x$ (man kräver ofta att $\phi _{\omega }(x)$ tillhör Sobolev-utrymmet $H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ). Vanligtvis finns sådana lösningar för $\omega$ från ett intervall eller samling av intervall av en reell linje. Vakhitov–Kolokolov stabilitetskriteriet,

${\frac {d}{d\omega }}Q(\phi _{\omega })<0,$

är ett tillstånd för spektral stabilitet för en ensam våglösning. Nämligen, om detta villkor är uppfyllt vid ett speciellt värde på $\omega$ , så har lineariseringen vid den solitära vågen med denna $\omega$ inget spektrum i det högra halvplanet.

Detta resultat är baserat på ett tidigare verk av Vladimir Zakharov .

Generaliseringar

Detta resultat har generaliserats till abstrakta Hamiltonska system med U (1)-invarians. Det visades att under ganska allmänna förhållanden garanterar Vakhitov–Kolokolov stabilitetskriteriet inte bara spektral stabilitet utan också orbital stabilitet för ensamma vågor.

Stabilitetsvillkoret har generaliserats till vandringsvåglösningar till den generaliserade Korteweg–de Vries-ekvationen i formen

$\partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+\partial _{x}f(u)=0\ ,$ .

Stabilitetsvillkoret har också generaliserats till Hamiltonska system med en mer allmän symmetrigrupp .

Se även

• Derricks teorem
• Linjär stabilitet
• Lyapunov stabilitet
• Icke-linjär Schrödinger-ekvation
• Orbital stabilitet