Världslig kardinal

I matematisk mängdlära är en världslig kardinal en kardinal κ så att rangen V _κ är en modell av Zermelo–Fraenkels mängdlära .

Förhållande till otillgängliga kardinaler

Enligt Zermelos teorem om otillgängliga kardinaler är varje otillgänglig kardinal världslig. Enligt Shepherdsons teorem är otillgänglighet ekvivalent med det starkare påståendet att ( V _κ , V _κ+1 ) är en modell av andra ordningens Zermelo-Fraenkel-mängdlära. Att vara världslig och att vara otillgänglig är inte likvärdiga; i själva verket har den minsta världsliga kardinal en räknebar kofinalitet och är därför en singular kardinal .

Följande är i strikt ökande ordning, där ι är den minst otillgängliga kardinal:

Den minst världsliga κ.
De minst världsliga κ och λ (κ<λ, och samma nedan) med V _κ och V _λ som uppfyller samma teori.
Den minst världsliga κ som är en gräns för världsliga kardinaler (motsvarande en gräns för κ världsliga kardinaler).
De minst världsliga κ och λ med V _κ ≺ _{Σ ₂} V _λ (detta är högre än till och med en κ-faldig iteration av objektet ovan).
De minst världsliga κ och λ med V _κ ≺ V _λ .
Den minst världsliga κ av kofinalitet ω ₁ (motsvarar förlängningen av ovanstående artikel till en kedja med längden ω ₁ ).
Den minst världsliga κ av kofinalitet ω ₂ (och så vidare).
Den minsta κ>ω med V _κ tillfredsställande ersättning för språket utökat med ( V _κ ,∈) tillfredsställelserelationen.
Det minsta κ otillgängliga i L _κ ( V _κ ); ekvivalent, det minsta κ>ω med V _κ som uppfyller ersättningen för formler i V _κ i den infinitära logiken L _∞,ω .
Den minsta κ med en transitiv modell M⊂ V _κ+1 som utökar V _κ som uppfyller Morse–Kelley-mängdläran .
(inte en världslig kardinal) Den minsta κ med V _κ som har samma Σ ₂ teori som V _ι .
Den minsta κ med V _κ och V _ι har samma teori.
Det minsta κ med L _κ ( V _κ ) och L _ι ( V _ι ) som har samma teori.
(inte en världslig kardinal) Den minsta κ med V _κ och V _ι som har samma Σ ₂ teori med verkliga parametrar.
(inte en världslig kardinal) Den minsta κ med V _κ ≺ _{Σ ₂} V _ι .
Minsta κ med V _κ ≺ V _ι .
Den minst oändliga κ med V _κ och V _ι som uppfyller samma L _∞,ω -satser som är i V _κ .
Den minsta κ med en transitiv modell M⊂ V _κ+1 som förlänger V _κ och uppfyller samma meningar med parametrar i V _κ som V _ι+1 gör.
Den minst otillgängliga kardinal ι.

Hamkins, Joel David (2014), "A multiverse perspective on the axiom of constructibility", Infinity and truth , Lect. Anteckningar Ser. Inst. Matematik. Sci. Natl. Univ. Singap., vol. 25, Hackensack, NJ: World Sci. Publ., s. 25–45, arXiv : 1210.6541 , Bibcode : 2012arXiv1210.6541H , MR 3205072

Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite , Springer Monographs. Springer Monographs in Math-Verlag 2

externa länkar

Världslig kardinal på Cantors vind