Unital (geometri)

I geometri är en unital en uppsättning av n ³ + 1 punkter ordnade i delmängder av storlek n + 1 så att varje par av distinkta punkter i uppsättningen finns i exakt en delmängd. Detta motsvarar att säga att en unital är en 2-( n ³ + 1, n + 1, 1) blockdesign . Vissa enheter kan vara inbäddade i ett projektivt plan av ordningen n ² (underuppsättningarna av designen blir uppsättningar av kolinjära punkter i det projektiva planet). I detta fall av inbäddade unitals skär varje linje i planet unitalen i antingen 1 eller n + 1 poäng. I desarguesiska planen , PG(2, q ² ), ges de klassiska exemplen på unitaler av icke degenererade hermitiska kurvor. Det finns också många icke-klassiska exempel. Den första och enda kända enheten med parametrar som inte är prime effekt, n = 6 , konstruerades av Bhaskar Bagchi och Sunanda Bagchi. Det är fortfarande okänt om denna enhet kan inbäddas i ett projektivt plan av ordningen 36 , om ett sådant plan existerar.

Klassiska enheter

Vi granskar en del terminologi som används i projektiv geometri .

En korrelation av en projektiv geometri är en bijektion på dess delrum som vänder inneslutningen. I synnerhet byter en korrelation punkter och hyperplan .

En korrelation av ordning två kallas polaritet .

En polaritet kallas en enhetlig polaritet om dess associerade sesquilinjära form s med följeslagande automorfism α uppfyller

s ( u , v ) = s ( v , u ) ^α för alla vektorer u , v i det underliggande vektorutrymmet .

En punkt kallas en absolut punkt av en polaritet om den ligger på bilden av sig själv under polariteten.

De absoluta punkterna för en enhetlig polaritet för den projektiva geometrin PG( d , F ), för vissa d ≥ 2, är en icke degenererad Hermitian variant , och om d = 2 kallas denna variation för en icke degenererad Hermitian kurva .

I PG(2, q ² ) för någon primpotens q bildar uppsättningen av punkter för en icke degenererad Hermitian-kurva en unital, som kallas en klassisk unital .

Låt ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(2,q^{2})$ vara en icke degenererad hermitisk kurva i $PG(2,q^{2})$ för viss primpotens $q$ . Eftersom alla icke degenererade hermitiska kurvor i samma plan är projektivt ekvivalenta, ${\mathcal {H}}$ beskrivas i termer av homogena koordinater enligt följande:

$${\mathcal {H}}=\{(x_{0},x_{1},x_{2})\colon x_{0}^{q+1}+x_{1}^{q+ 1}+x_{2}^{q+1}=0\}.$$

Ree unitals

En annan familj av enheter baserade på Ree-grupper konstruerades av H. Lüneburg. Låt Γ = R( q ) vara Ree-gruppen av typ ² G ₂ av ordningen ( q ³ + 1) q ³ ( q − 1) där q = 3 ^{2 m +1} . Låt P vara mängden av alla q ³ + 1 Sylow 3-undergrupper av Γ. Γ verkar dubbelt transitivt på denna mängd genom konjugation (det kommer att vara bekvämt att tänka på dessa undergrupper som punkter som Γ verkar på.) För alla S och T i P är den punktvisa stabilisatorn Γ _{S , T} cyklisk av ordningen q - 1, och innehåller således en unik involution , μ. Varje sådan involution fixerar exakt q + 1 punkter av P . Konstruera en blockdesign på punkterna i P vars block är fixpunktsuppsättningarna för dessa olika varv μ. Eftersom Γ verkar dubbelt transitivt på P , kommer detta att vara en 2-design med parametrarna 2-( q ³ + 1, q + 1, 1) som kallas en Ree unital.

Lüneburg visade också att Ree-enheterna inte kan bäddas in i projektiva plan av ordningen q ² ( Desarguesian eller inte) så att automorfismgruppen Γ induceras av en kollineringsgrupp i planet. För q = 3 bevisade Grüning att en Ree-enhet inte kan bäddas in i något projektivt plan av ordning 9.

Buekenhouts konstruktioner

Genom att undersöka den klassiska unitalen i $PG(2,q^{2})$ i Bruck/Bose-modellen tillhandahöll Buekenhout två konstruktioner, som tillsammans bevisade förekomsten av en inbäddad enhet i vilket ändligt 2-dimensionellt översättningsplan som helst . Metz visade därefter att en av Buekenhouts konstruktioner faktiskt ger icke-klassiska unitaler i alla finita desarguesiska plan av kvadratisk ordning på minst 9. Dessa Buekenhout-Metz unitaler har studerats omfattande.

Kärnidén i Buekenhouts konstruktion är att när man tittar på $PG(2,q^{2})$ i den högredimensionella Bruck/Bose-modellen, som ligger i $PG(4,q)$ , ekvationen för den hermitiska kurvan uppfylld av en klassisk unital blir en kvadratisk yta i $PG(4,q)$ , antingen en spetskon över en 3-dimensionell äggformad om linjen som representeras av spridningen av Bruck/Bose-modellen möter unitalen i en punkt, eller en icke-singular fyrkant annars. Eftersom dessa objekt har kända skärningsmönster med avseende på planen för $PG(4,q)$ , förblir den resulterande punktuppsättningen en enhet i vilket translationsplan som helst vars genererande spridning innehåller alla samma linjer som den ursprungliga spridningen inom den kvadriska ytan. I det äggformade konfallet består denna påtvingade skärningspunkt av en enda linje, och vilken spridning som helst kan mappas till en spridning som innehåller denna linje, vilket visar att varje översättningsplan av denna form tillåter en inbäddad enhet.

Enheter med $n=3$

I de fyra projektiva planen av ordning 9 (det Desarguesiska planet PG(2,9), Hall-planet av ordning 9, det dubbla Hall-planet av ordning 9 och Hughesplanet av ordning 9.), en uttömmande datorsökning av Penttila och Royle hittade 18 unitaler (upp till ekvivalens) med n = 3 i dessa fyra plan: två i PG(2,9) (båda Buekenhout), fyra i Hall- planet (två Buekenhout, två inte), och så ytterligare fyra i dubbla Hall-plan och åtta i Hughes-planet. En av Buekenhout-enheterna i Hall-planet är dock självdual, och räknas därför igen i det dubbla Hall-planet. Således finns det 17 distinkta inbäddningsbara enheter med n = 3. Å andra sidan hittade en icke-uttömmande datorsökning över 900 ömsesidigt icke-isomorfa design som är enheter med n = 3.

Isomorfa kontra ekvivalenta enheter

Eftersom unitaler är blockdesigner sägs två unitaler vara isomorfa om det finns en designisomorfism mellan dem, det vill säga en bijektion mellan punktuppsättningarna som mappar block till block. Detta koncept tar inte hänsyn till egenskapen inbäddningsbarhet, så för att göra det säger vi att två enheter, inbäddade i samma omgivande plan, är ekvivalenta om det finns en kollinering av planet som mappar den ena enheten till den andra.

Källor

•   Assmus, EF Jr; Key, JD (1992), Designs and Their Codes , Cambridge Tracts in Mathematics #103, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41361-3
• Bagchi, S.; Bagchi, B. (1989), "Designs from pairs of finite fields. A cyclic unital U(6) and other regular steiner 2-designs", Journal of Combinatorial Theory, Series A , 52 : 51–61, doi : 10.1016/ 0097-3165(89)90061-7
•   Barwick, Susan; Ebert, Gary (2008), Unitals in Projective Planes , Springer, doi : 10.1007/978-0-387-76366-8 , ISBN 978-0-387-76364-4
• Betten, A.; Betten, D.; Tonchev, VD (2003), "Unitals and codes", Discrete Mathematics , 267 (1–3): 23–33, doi : 10.1016/s0012-365x(02)00600-3
•    Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275 – via Internet Archive
•   Grüning, K. (1986), "Das Kleinste Ree-Unital", Archiv der Mathematik , 46 (5): 473–480, doi : 10.1007/bf01210788 , S2CID 115302560
• Lüneburg, H. (1966), "Några anmärkningar rörande Ree-gruppen av typ (G ₂ )", Journal of Algebra , 3 (2): 256–259, doi : 10.1016/0021-8693(66)90014-7
•   Penttila, T.; Royle, GF (1995), "Set av typ ( m,n ) in the affine and projective planes of order nio", Designs, Codes and Cryptography , 6 (3): 229–245, doi : 10.1007/bf01388477 , S2CID 89363855