Typ-1 OWA-operatörer

Typ-1 OWA-operatörer är en uppsättning aggregeringsoperatörer som generaliserar Yagers OWA-operatörer (ordered weighted averaging) i syfte att aggregera fuzzy sets snarare än skarpa värden i mjukt beslutsfattande och datautvinning.

Dessa operatörer tillhandahåller en matematisk teknik för att direkt aggregera osäker information med osäkra vikter via OWA-mekanism i mjukt beslutsfattande och datautvinning, där dessa osäkra objekt modelleras av fuzzy sets .

De två definitionerna för typ-1 OWA-operatörer är baserade på Zadehs Extension Principle och $\alpha$ -cuts of fuzzy sets. De två definitionerna leder till likvärdiga resultat.

Definitioner

Definition 1

Låt $F(X)$ vara uppsättningen av fuzzy set med diskursdomän $X$ , en typ-1 OWA-operator definieras enligt följande:

Givet n språkliga vikter $\left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ i form av luddiga uppsättningar definierade på diskursdomän $U=[0,1]$ , en typ-1 OWA-operator är en mappning, $\Phi$ ,

$\Phi \colon F(X)\times \cdots \times F(X)\longrightarrow F(X)$

$(A^{1},\cdots ,A^{n})\mapsto Y$

Så att

$\mu _{Y}(y)=\displaystyle \sup _{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\bar {w}}_ {i}a_{\sigma (i)}=y}\left({\begin{array}{*{1}l}\mu _{W^{1}}(w_{1})\wedge \cdots \wedge \mu _{W^{n}}(w_{n})\wedge \mu _{A^{1}}(a_{1})\wedge \cdots \wedge \mu _{A^{n }}(a_{n})\end{array}}\right)$

där ${\bar {w}}_{i}={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n }{w_{i}}}}$ och $\sigma \colon \{1,\cdots ,n\}\longrightarrow \{ 1,\cdots ,n\}$ är en permutationsfunktion så att ${\displaystyle a_{\sigma (i)} \geq a_{\sigma (i+1)},\ \forall i=1,\cdots ,n-1} , dvs ett σ ( i ) {\displaystyle a_{\sigma$ ( $i$ : ${\displaystyle i}:$ e högsta elementet i mängden $\left\{{a_{1},\cdots ,a_{n}}\right\}$ .

Definition 2

Använda alpha-cuts av fuzzy sets:

Givet de n språkliga vikterna $\left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ i form av fuzzy uppsättningar definierade på diskursdomänen ${\displaystyle U=[0,\;\;1]} ,$ sedan för varje $\alpha \in [0,\;1]$ , en $\alpha$ -level type-1 OWA-operator med $\alpha$ -level sets $\left\{{W_{\alpha }^ {i}}\right\}_{i=1}^{n}$ för att aggregera $\alpha$ -snitten av fuzzy sets $\left\{{ A^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ är:

$\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_ {\alpha }^{n}}\right)=\left\{{{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}} }{\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}\left|{w_{i}\in W_{\alpha }^{i},\;a_{i} }\right.\in A_{\alpha }^{i},\;i=1,\ldots ,n}\right\}$

där ${\displaystyle W_{\alpha }^{i}=\{w|\mu _{W_{i}}(w)\geq \alpha \},A_{\alpha } ^{i}=\{x|\mu _{A_{i}}(x)\geq \alpha \}} , och σ$ : $displaystyle \sigma :\{\;1,\cdots ,n\;\}\to \{\;1,\cdots ,n\;\}} är en permutationsfunktion så$ att $a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\;\forall \;i=1,\cdots ,n-1$ , dvs $a_{\sigma (i)}$ är ${\displaystyle i}:$ e största elementet i mängden ${\ displaystyle \left\{{a_{1},\cdots,a_{n}}\right\}}$ .

Representationssats för OWA-operatorer av typ 1

Givet de n språkliga vikterna $\left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ i form av fuzzy uppsättningar definierade på diskursdomänen $U=[0,\;\;1]$ , och de luddiga uppsättningarna $A^{1},\cdots ,A ^{n}$ , då har vi det

$Y=G$

där $Y$ är aggregeringsresultatet som erhålls av definition 1, och $G$ är resultatet som erhålls av i definition 2.

Programmeringsproblem för typ 1 OWA-operatörer

Enligt Representation Theorem of Type-1 OWA Operators, kan en allmän typ-1 OWA-operator delas upp i en serie av $\alpha$ -nivå typ-1 OWA-operatorer. I praktiken används denna serie av ${\displaystyle \alpha } -nivå typ-1 OWA-operatorer för att konstruera den resulterande aggregeringsfuzzy uppsättningen.$ Så vi behöver bara beräkna de vänstra ändpunkterna och högra ändpunkterna för intervallen $\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)$ . Sedan konstrueras den resulterande aggregeringsfuzzy-uppsättningen med medlemskapsfunktionen enligt följande:

$\mu _{G}(x)=\operatörsnamn {\bigvee } \limits _{ \alpha :x\in \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots,A_{\alpha }^{n}}\right)_{\alpha }}\ alfa$

För de vänstra slutpunkterna måste vi lösa följande programmeringsproblem:

$\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right )_{-}=\operatörsnamn {\min } \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{ i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n} {w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}$

för de rätta slutpunkterna måste vi lösa följande programmeringsproblem:

$\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right )_{+}=\operatörsnamn {\max } \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{ i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n} {w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}$

En snabb metod har presenterats för att lösa två programmeringsproblem så att OWA-aggregationsoperationen av typ 1 kan utföras effektivt, för detaljer, se uppsatsen.

Ansats på alfanivå för OWA-drift av typ 1

Trestegsprocess:

• Steg 1—För att ställa in $\alpha$ - nivåupplösningen i [0, 1].
• Steg 2—För varje $\alpha \in [0,1]$ ,

• Steg 2.1—För att beräkna $\rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}$

1. Låt $i_{0}=1$ ;
2. Om $\rho _{\alpha +}^{i_{0}}\geq A_{\alpha +}^{\sigma (i_{0})}$ , stopp, $\rho _{\alpha +}^{i_{0}}$ är lösningen; annars gå till steg 2.1-3.
3. $i_{0}\leftarrow i_{0}+1$ , gå till steg 2.1-2.

• Steg 2.2 Att beräkna $\rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }}$

1. Låt $i_{0}=1$ ;
2. Om $\rho _{\alpha -}^{i_{0}}\geq A_{\alpha -}^{\sigma (i_{0})}$ , stopp, $\rho _{\alpha -}^{i_{0}}$ är lösningen; annars gå till steg 2.2-3.
3. $i_{0}\leftarrow i_{0}+1$ , gå till steg 2.2-2.

• Steg 3—För att konstruera aggregeringen resulterande fuzzy set $G$ baserat på alla tillgängliga intervall $\left[{\rho _{\alpha -} ^{i_{0}^{\ast }},\;\rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}}\right]$ :

$\mu _{G}(x)=\operatörsnamn {\bigvee } \limits _{\alpha :x\in \left[{ \rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }},\;\rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}}\right]}\alpha$

Några exempel

• Typ-1 OWA-operatören med vikterna som visas i den översta figuren används för att aggregera de otydliga uppsättningarna (heldragna linjerna) i den nedre figuren, och den streckade linjen är aggregeringsresultatet.

Speciella fall

• Alla OWA-operatörer, som maximum, minimum, betyder operatörer;
• Gå med operatörer av (typ-1) fuzzy set, dvs. fuzzy maximum operators;
• Möt operatörer av (typ-1) fuzzy set, dvs fuzzy minimum operators;
• Join-liknande operatörer av (typ-1) fuzzy set;
• Möt-liknande operatörer av (typ-1) fuzzy set.

Generaliseringar

Typ-2 OWA-operatörer har föreslagits att aggregera typ-2 fuzzy set för mjukt beslutsfattande.

Ansökningar

Typ-1 OWA-operatörer har använts på olika domäner för mjukt beslutsfattande.

• Förbättrad effektivitet i beräkningsmetoden;
• Typreduktion av fuzzy set av typ 2 ;
• Gruppbeslutsfattande ;
• Kreditriskbedömning ;
• Informationsfusion ;
• Språkliga uttryck och symbolisk översättning ;
• Sentimentanalys ;
• Vägval i osäkra miljöer;
• Rekommendationer om e-handel.