Beställd vägd medelvärdesaggregationsoperator

Inom tillämpad matematik – speciellt i fuzzy logic – tillhandahåller operatorerna för ordnat viktat medelvärde (OWA) en parametriserad klass av medeltypsaggregationsoperatorer. De introducerades av Ronald R. Yager . Många anmärkningsvärda medeloperatorer som max, aritmetiskt medelvärde , median och min, är medlemmar i denna klass. De har använts i stor utsträckning inom beräkningsintelligens på grund av deras förmåga att modellera språkligt uttryckta aggregeringsinstruktioner.

Definition

Formellt är en OWA- operator med dimension $}$$\ W=[w_{1},\ldots ,w_{n}]$ en mappning $F:R_{n}\rightarrow R$ som har en tillhörande samling av vikter ligger i enhetsintervallet och summerar till ett och med

$F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\summa _{j=1}^{n }w_{j}b_{j}$

där $b_{j}$ är den j: ^e största av $a_{i}$ .

Genom att välja olika W kan man implementera olika aggregeringsoperatorer. OWA-operatorn är en icke -linjär operator som ett resultat av processen att bestämma bj _.

Egenskaper

OWA-operatören är en genomsnittlig operatör. Den är avgränsad , monoton , symmetrisk och idempotent , enligt definitionen nedan.

Avgränsad	$\min(a_{1},\ldots ,a_{n} )\leq F(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq \max(a_{1},\ldots ,a_{n})$
Monotona	$F(a_{1},\ldots ,a_{n})\geq F(g_{1},\ldots ,g_{n})$ om $a_{i}\geq g_{i}$ för $\ i=1,2,\ldots , n$
Symmetrisk	${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})=F(a_{ \boldsymbol {\pi (1)}},\ldots ,a_{\boldsymbol {\pi (n)}})} om π {\$ displaystyle $\boldsymbol {\pi }}}$ är en permutationskarta
Idempotent	$\ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=a$ om alla $\ a_{i}=a$

Anmärkningsvärda OWA-operatörer

$\ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max(a_{1},\ ldots ,a_{n})$ om $\ w_{1}=1$ och $\ w_{j}=0$ för $j\neq 1$

$\ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min(a_{1}, \ldots ,a_{n})$ om $\ w_{n}=1$ och $\ w_{j}=0$ för $j\neq n$

$\ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ mathrm {average} (a_{1},\ldots ,a_{n})$ om $\ w_{j}={\frac {1}{n}}$ för alla $j\in [1,n]$

Karakteriserande egenskaper

Två funktioner har använts för att karakterisera OWA-operatörerna. Den första är attitydkaraktären (orness).

Detta definieras som

$AC(W)={\frac {1}{n-1}}\sum _{j=1}^{n}(nj)w_{j}.$

Det är känt att $AC(W)\in [0,1]$ .

Dessutom A − C (max) = 1, A − C(ave) = A − C(med) = 0,5 och A − C(min) = 0. Således går A − C från 1 till 0 när vi går från Max till Min aggregering. Attitydkaraktären kännetecknar likheten mellan aggregering och ELLER-operation (ELLER definieras som Max).

Den andra egenskapen är spridningen. Detta definieras som

$H(W)=-\sum _{j=1}^{n}w_{j}\ln(w_{j}).$

En alternativ definition är $E(W)=\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{2}.$ Dispersionen kännetecknar hur enhetligt argumenten används ÀĚ

Typ-1 OWA-aggregationsoperatörer

Ovanstående Yagers OWA-operatörer används för att aggregera de skarpa värdena. Kan vi samla fuzzy sets i OWA-mekanismen? Typ -1 OWA-operatörer har föreslagits för detta ändamål. Så typ 1 OWA-operatörerna förser oss med en ny teknik för att direkt aggregera osäker information med osäkra vikter via OWA-mekanism i mjukt beslutsfattande och datautvinning, där dessa osäkra objekt modelleras av fuzzy sets.

Typ -1 OWA-operatören definieras enligt alfa-snitten för fuzzy set enligt följande:

Givet de n språkliga vikterna $\left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ i form av fuzzy uppsättningar definierade på diskursdomänen ${\displaystyle U=[0,\;\;1]} ,$ sedan för varje $\alpha \in [0,\;1]$ , en $\alpha$ -level type-1 OWA-operator med $\alpha$ -level sets $\left\{{W_{\alpha }^ {i}}\right\}_{i=1}^{n}$ för att aggregera $\alpha$ -snitten av fuzzy sets $\left\{{ A^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ ges som

$\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_ {\alpha }^{n}}\right)=\left\{{{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}} }{\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}\left|{w_{i}\in W_{\alpha }^{i},\;a_{i} }\right.\in A_{\alpha }^{i},\;i=1,\ldots ,n}\right\}$

där ${\displaystyle W_{\alpha }^{i}=\{w|\mu _{W_{i}}(w)\geq \alpha \},A_{\alpha } ^{i}=\{x|\mu _{A_{i}}(x)\geq \alpha \}} och σ$ : $displaystyle \sigma :\{\;1,\ldots ,n\;\}\to \{\;1,\ldots ,n\;\}} är en permutationsfunktion så$ att $a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\;\forall \;i=1,\ldots ,n-1$ , dvs $a_{\sigma (i)}$ är ${\displaystyle i}:$ e största elementet i mängden ${\ displaystyle \left\{{a_{1},\ldots,a_{n}}\right\}}$ .

Beräkningen av typ-1 OWA- utgången implementeras genom att beräkna de vänstra ändpunkterna och högra ändpunkterna för intervallen ${\displaystyle \Phi _{\alpha }\ left({A_{\alpha }^{1},\ldots,A_{\alpha}^{n}}\right)} : Φ$ α $displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha}^{1},\ldots,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}}$ och $\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+} ,$ där $A_{\alpha }^{i}=[A_{ \alpha -}^{i},A_{\alpha +}^{i}],W_{\alpha }^{i}=[W_{\alpha -}^{i},W_{\alpha +}^ {i}]$ . Då är medlemskapsfunktionen för den resulterande fuzzy uppsättningen:

$\mu _{G}(x)=\mathop {\vee } _{\alpha :x\in \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{\alpha }}\alpha$

För de vänstra slutpunkterna måste vi lösa följande programmeringsproblem:

$\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right) _{-}=\min \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\ alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i} a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}$

för de rätta slutpunkterna måste vi lösa följande programmeringsproblem:

$\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right) _{+}=\max \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\ alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i} a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}$

Detta dokument har presenterat en snabb metod för att lösa två programmeringsproblem så att OWA-aggregationsoperationen av typ 1 kan utföras effektivt.

• Yager, RR, "Om beordrade vägda medelvärdesaggregationsoperatörer i beslutsfattande med flera kriterier," IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 18, 183–190, 1988.
• Yager, RR och Kacprzyk, J., The Ordered Weighted Averaging Operators: Theory and Applications , Kluwer: Norwell, MA, 1997.
• Liu, X., "The solution equivalence of minimax disparity and minimum varians problems for OWA-operatörer," International Journal of Approximate Reasoning 45, 68–81, 2007.
• Torra, V. och Narukawa, Y., Modeling Decisions: Information Fusion and Aggregation Operators, Springer: Berlin, 2007.
• Majlender, P., "OWA-operatörer med maximal Rényi-entropi," Fuzzy Sets and Systems 155, 340–360, 2005.
• Szekely, GJ och Buczolich, Z., "När är ett viktat medelvärde av ordnade provelement en maximal sannolikhetsuppskattare av platsparametern?" Advances in Applied Mathematics 10, 1989, 439–456.
• S.-M. Zhou, F. Chiclana, RI John och JM Garibaldi, "OWA-operatorer av typ 1 för att aggregera osäker information med osäkra vikter inducerade av typ-2 språkliga kvantifierare," Fuzzy Sets and Systems, Vol.159, No.24, s. 3281 –3296, 2008 [1]
• S.-M. Zhou, F. Chiclana, RI John och JM Garibaldi, "Aggregering på alfanivå: ett praktiskt tillvägagångssätt för OWA-operation av typ 1 för att samla osäker information med tillämpningar för behandling av bröstcancer," IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, vol. 23, nr 10, 2011, s. 1455–1468. [2]
• S.-M. Zhou, RI John, F. Chiclana och JM Garibaldi, "Om att samla osäker information av typ-2 OWA-operatörer för mjukt beslutsfattande," International Journal of Intelligent Systems, vol. 25, nr.6, s. 540–558, 2010. [3]