Tvåvägs variansanalys

Inom statistik är tvåvägsvariansanalysen ( ANOVA ) en förlängning av enkelriktad ANOVA . som undersöker inverkan av två olika kategoriska oberoende variabler på en kontinuerligt beroende variabel Tvåvägs ANOVA syftar inte bara till att bedöma huvudeffekten av varje oberoende variabel utan också om det finns någon interaktion mellan dem.

Historia

1925 nämner Ronald Fisher tvåvägs-ANOVA i sin berömda bok, Statistical Methods for Research Workers (kapitel 7 och 8). 1934 Frank Yates rutiner för det obalanserade fallet. Sedan dess har en omfattande litteratur producerats. Ämnet granskades 1993 av Yasunori Fujikoshi. 2005 Andrew Gelman ett annat tillvägagångssätt för ANOVA, sett som en flernivåmodell .

Datauppsättning

Låt oss föreställa oss en datamängd för vilken en beroende variabel kan påverkas av två faktorer som är potentiella källor till variation. Den första faktorn har $I$ -nivåer ( ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,I\}})$ och den andra har $J$ -nivåer ( $j\in \{1,\ldots ,J\}$ ) . Varje kombination $(i,j)$ definierar en behandling , för totalt $I\times J$ behandlingar. Vi representerar antalet replikat för behandling $(i,j)$ med $n_{ij}$ , och låter $k$ vara indexet för replikatet i denna behandling ( $k\in \{1,\ldots,n_{ij}\}$ ) .

Från dessa data kan vi bygga en beredskapstabell , där $n_{i+}=\summa _{j=1}^{J}n_{ij}$ och ${\displaystyle n_{+j}=\sum _{i=1}^{I}n_{ij}} ,$ och det totala antalet replikat är lika med $n=\summa _{i,j}n_{ij}=\summa _{i}n_{i+}=\summa _{j}n_{+j}$ .

Den experimentella designen är balanserad om varje behandling har samma antal replikat, $K$ . I ett sådant fall sägs designen också vara ortogonal , vilket gör det möjligt att helt särskilja effekterna av båda faktorerna. Vi kan därför skriva ${\displaystyle \forall i,j\;n_{ij}=K} ,$ och ${\ displaystyle \forall i,j\;n_{ij}={\frac {n_{i+}\cdot n_{+j}}{n}}}$ .

Modell

Vid observation av variation mellan alla $n$ datapunkter, till exempel via ett histogram , kan " sannolikhet användas för att beskriva sådan variation". Låt oss därför beteckna med $Y_{ijk}$ den slumpvariabel som observerade värdet $y_{ijk}$ är $k$ -:te måttet för behandling $(i,j)$ . Tvåvägs ANOVA modellerar alla dessa variabler som varierande oberoende och normalt runt ett medelvärde, $\mu _{ij}$ , med en konstant varians, $\sigma ^{2}$ ( homoskedasticitet ):

$Y_{ijk}\,|\,\mu _{ij},\sigma ^{2}\;{\overset {\mathrm {iid} }{\sim } }\;{\mathcal {N}}(\mu _{ij},\sigma ^{2})$ .

Specifikt modelleras medelvärdet av svarsvariabeln som en linjär kombination av de förklarande variablerna:

$\mu _{ij}=\mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+\gamma _{ij}$ ,

där $\mu$ är det stora medelvärdet, $\alpha _{i}$ är den additiva huvudeffekten av nivå $i$ från den första faktorn ( i -te raden i kontingensen tabell), $\beta _{j}$ är den additiva huvudeffekten av nivå $j$ från den andra faktorn ( j -:e kolumnen i beredskapstabellen) och $\ gamma _{ij}$ är den icke-additiva interaktionseffekten av behandling $(i,j)$ för prover $k=1,...,n_{ij}$ från båda faktorerna (cell på rad i och kolumn j i beredskapstabellen).

Ett annat likvärdigt sätt att beskriva tvåvägs-ANOVA är att nämna att det, förutom variationen som förklaras av faktorerna, kvarstår en del statistiskt brus . Denna mängd oförklarad variation hanteras via introduktionen av en slumpvariabel per datapunkt, ${\displaystyle \epsilon _{ijk}} ,$ kallad error . Dessa $n$ slumpvariabler ses som avvikelser från medelvärdet och antas vara oberoende och normalfördelade:

$Y_{ijk}=\mu _{ij}+\epsilon _{ijk}{\text{ med }}\epsilon _{ijk}{\overset {\mathrm {iid} } {\sim }}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ .

Antaganden

Efter Gelman och Hill är antagandena för ANOVA, och mer allmänt den allmänna linjära modellen, i minskande betydelse:

1. datapunkterna är relevanta med avseende på den vetenskapliga frågan som undersöks;
2. medelvärdet av svarsvariabeln påverkas additivt (om inte interaktionsterm) och linjärt av faktorerna;
3. felen är oberoende;
4. felen har samma varians;
5. felen är normalfördelade.

Parameteruppskattning

För att säkerställa identifierbarhet av parametrar kan vi lägga till följande "summa-till-noll"-begränsningar:

$\sum _{i}\alpha _{i}=\summa _{j}\beta _{j} =\summa _{i}\gamma _{ij}=\summa _{j}\gamma _{ij}=0$

Hypotestestning

I det klassiska tillvägagångssättet uppnås testning av nollhypoteser (att faktorerna inte har någon effekt) via deras signifikans som kräver beräkning av kvadratsummor .

Att testa om interaktionstermen är signifikant kan vara svårt på grund av det potentiellt stora antalet frihetsgrader .

Exempel

Följande hypotetiska exempel ger skörden för 15 plantor som är föremål för två olika miljövariationer och tre olika gödselmedel.

	Extra CO 2	Extra luftfuktighet
Inget gödningsmedel	7, 2, 1	7, 6
Nitrat	11, 6	10, 7, 3
Fosfat	5, 3, 4	11, 4

Fem kvadratsummor beräknas:

Faktor	Beräkning	Belopp	$\sigma ^{2}$
Enskild	$7^{ 2}+2^{2}+1^{2}+7^{2}+6^{2}+11^{2}+6^{2}+10^{2}+7^{2} +3^{2}+5^{2}+3^{2}+4^{2}+11^{2}+4^{2}$	641	15
Gödsel × Miljö	${\frac {(7+2+1)^{2}}{3}}+{\frac {(7+6)^{2}}{2}}+{\frac { (11+6)^{2}}{2}}+{\frac {(10+7+3)^{2}}{3}}+{\frac {(5+3+4)^{2 }}{3}}+{\frac {(11+4)^{2}}{2}}$	556,1667	6
Gödselmedel	${\frac {(7 +2+1+7+6)^{2}}{5}}+{\frac {(11+6+10+7+3)^{2}}{5}}+{\frac {(5 +3+4+11+4)^{2}}{5}}$	525,4	3
Miljö	${\frac {(7+2+1 +11+6+5+3+4)^{2}}{8}}+{\frac {(7+6+10+7+3+11+4)^{2}}{7}}$	519,2679	2
Sammansatt	${\frac {(7+2+1+11+6 +5+3+4+7+6+10+7+3+11+4)^{2}}{15}}$	504,6	1

Slutligen kan summan av kvadrerade avvikelser som krävs för variansanalysen beräknas.

Faktor	Belopp	$\sigma ^{2}$	Total	Miljö	Gödselmedel	Gödsel × Miljö	Resterande
Enskild	641	15	1				1
Gödsel × Miljö	556,1667	6				1	−1
Gödselmedel	525,4	3			1	−1
Miljö	519,2679	2		1		−1
Sammansatt	504,6	1	−1	−1	−1	1
Kvadratiska avvikelser			136,4	14,668	20.8	16.099	84,833
Grader av frihet			14	1	2	2	9

Se även

• Variansanalys
• F-test ( Inkluderar ett envägs ANOVA-exempel )
• Blandad modell
• Multivariat variansanalys (MANOVA)
• Enkelriktad ANOVA
• Upprepade åtgärder ANOVA
• Tukeys test av additivitet

Anteckningar

•   George Casella (18 april 2008). Statistisk design . Springer Texts in Statistics. Springer . ISBN 978-0-387-75965-4 .