Bråkdel av variansen oförklarad

Inom statistik är variansfraktionen oförklarad ( FVU ) i sammanhanget av en regressionsuppgift den variansandel av regressen och (beroende variabeln) Y som inte kan förklaras, dvs. som inte är korrekt förutspådd, av de förklarande variablerna X .

Formell definition

Antag att vi får en regressionsfunktion $f$ som ger för varje $y_{i}$ en uppskattning ${\widehat {y}}_{i }=f(x_{i})$ där $x_{i}$ är vektorn för de i : ^te observationerna på alla förklarande variabler. Vi definierar fraktionen av variansen oförklarad (FVU) som:

{\begin {aligned}{\text{FVU}}&={{\text{VAR}}_{\text{err}} \över {\text{VAR}}_{\text{tot}}}={{\ text{SS}}_{\text{err}}/N \over {\text{SS}}_{\text{tot}}/N}={{\text{SS}}_{\text{err }} \över {\text{SS}}_{\text{tot}}}\left(=1-{{\text{SS}}_{\text{reg}} \över {\text{SS} }_{\text{tot}}},{\text{ endast sant i vissa fall som linjär regression}}\right)\\[6pt]&=1-R^{2}\end{aligned}}

där R ² är bestämningskoefficienten och VAR _err och VAR _tot är variansen av residualerna och urvalsvariansen för den beroende variabeln. SS _err (summan av kvadrerade prediktionsfel, ekvivalent restsumman av kvadrater ), SS _tot ( totalsumman av kvadrater ) och SS _reg (summan av kvadraterna av regressionen, ekvivalent den förklarade summan av kvadrater ) ges av

{\begin{aligned}{\text{SS}}_{\text{err}}&=\sum _{i=1}^{N}\;(y_{i}-{\widehat { y}}_{i})^{2}\\{\text{SS}}_{\text{tot}}&=\summa _{i=1}^{N}\;(y_{i} -{\bar {y}})^{2}\\{\text{SS}}_{\text{reg}}&=\summa _{i=1}^{N}\;({\widehat {y}}_{i}-{\bar {y}})^{2}{\text{ och}}\\{\bar {y}}&={\frac {1}{N}}\ summa _{i=1}^{N}\;y_{i}.\end{aligned}}

Alternativt kan den oförklarade variansfraktionen definieras enligt följande:

{\text{FVU}}={\frac {\operatörsnamn {MSE} (f)}{\operatörsnamn {var} [Y]}}

där MSE( f ) är medelkvadratfelet för regressionsfunktionen ƒ .

Förklaring

Det är användbart att överväga den andra definitionen för att förstå FVU. När vi försöker förutsäga Y , är den mest naiva regressionsfunktionen vi kan tänka oss den konstanta funktionen som förutsäger medelvärdet av Y , dvs. $f(x_{i})={\bar {y}}$ . Det följer att MSE för denna funktion är lika med variansen av Y ; det vill säga SS _err = SS _tot och SS _reg = 0. I det här fallet kan ingen variation i Y redovisas, och FVU har då sitt maximala värde på 1.

Mer generellt kommer FVU att vara 1 om de förklarande variablerna X inte säger oss något om Y i den meningen att de förutsagda värdena för Y inte samvarierar med Y . Men eftersom förutsägelsen blir bättre och MSE kan minskas, går FVU ner. I fallet med perfekt förutsägelse där ${\hat {y}}_{i}=y_{i}$ för alla i , är MSE 0, SS _fel = 0, SS _reg = SS _tot och FVU är 0.

Se även