Transversal-field Ising-modell

Tvärfältet Ising-modellen är en kvantversion av den klassiska Ising-modellen . Den har ett gitter med närmaste granninteraktioner som bestäms av inriktningen eller anti-inriktningen av spinnprojektioner längs $z$ -axeln, såväl som ett externt magnetfält vinkelrätt mot $z$ -axeln (utan förlust av generalitet, längs $x$ -axeln) vilket skapar en energisk bias för en x-axels spinnriktning över den andra.

En viktig egenskap hos denna inställning är att, i kvantbemärkelse, spinprojektionen längs $x$ -axeln och spinnprojektionen längs $z$ -axeln inte är observerbara storheter som kan pendla. Det vill säga att de inte kan observeras båda samtidigt. Detta innebär att klassisk statistisk mekanik inte kan beskriva denna modell, och en kvantbehandling behövs.

Specifikt har modellen följande kvant Hamiltonian :

$H=-J\left(\sum _{\langle i,j\rangle }Z_{i}Z_{ j}+g\summa _{j}X_{j}\right)$

Här hänvisar sänkningarna till gitterplatser, och summan $\sum _{\langle i,j\rangle }$ görs över par av närmaste grannplatser $i$ och $j$ . $X_{j}$ och $Z_{j}$ är representationer av element i spinalgebra (Pauli-matriser, i fallet med spin 1/2) som verkar på spinnvariablerna för motsvarande webbplatser. De pendlar mot varandra om de är på samma webbplats och pendlar med varandra om de är på olika platser. $J$ är en prefaktor med dimensioner av energi, och $g$ är en annan kopplingskoefficient som bestämmer den relativa styrkan hos det yttre fältet jämfört med närmaste granninteraktion.

Faser i 1D-tvärfältsmodellen Ising

Nedan är diskussionen begränsad till det endimensionella fallet där varje gitterplats är ett tvådimensionellt komplext Hilbert-rum (dvs. det representerar en spin 1/2-partikel). För enkelhetens skull är här $X$ och $Z$ normaliserade till att var och en har determinant -1. Hamiltonianen har en $\mathbb {Z} _{2}$ symmetrigrupp, eftersom den är invariant under den enhetliga operationen att vända alla snurr i $z$ -riktningen. Mer exakt ges symmetritransformationen av den enhetliga $\prod _{j}X_{j}$ .

1D-modellen tillåter två faser, beroende på om grundtillståndet (speciellt, i fallet med degeneration, ett grundtillstånd som inte är ett makroskopiskt intrasslat tillstånd) bryter eller bevarar ovannämnda ∏ j X j {\ ${ j}X_{j}}$ spin-flip-symmetri. Tecknet för $J$ påverkar inte dynamiken, eftersom systemet med positiv $J$ kan mappas in i systemet med negativ $J$ genom att utföra en $\pi$ rotation runt $X_{j}$ för varannan plats $j$ .

Modellen kan lösas exakt för alla kopplingskonstanter. Men när det gäller snurr på plats är lösningen generellt sett väldigt obekväm att skriva ner explicit när det gäller snurrvariablerna. Det är mer praktiskt att skriva lösningen uttryckligen i termer av fermioniska variabler definierade av Jordan-Wigner-transformation , i vilket fall de exciterade tillstånden har en enkel kvasipartikel- eller kvasihålbeskrivning.

Beställd fas

När $|g|<1$ , systemet sägs vara i den ordnade fasen. I denna fas bryter grundtillståndet spin-flip-symmetrin. Sålunda är grundtillståndet i själva verket dubbelt degenererat. För $J>0$ uppvisar denna fas ferromagnetisk ordning, medan för ${\displaystyle J<0} existerar$ antiferromagnetisk ordning.

Exakt, om $|\psi _{1}\rangle$ är ett grundtillstånd för Hamiltonian, då ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle \equiv \prod _{j}X_{j}|\psi _{1}\rangle \neq |\psi _{1}\rangle } är$ också ett grundtillstånd, och tillsammans $|\psi _{1}\rangle$ och $|\psi _{2}\rangle$ spänner över det degenererade marktillståndsutrymmet. Som ett enkelt exempel, när $g=0$ och $J>0$ är grundtillstånden $|\ldots \uparrow \uparrow \uparrow \ldots \rangle$ och ${\displaystyle |\ldots \downarrow \downarrow \downarrow \ldots \rangle } ,$ det vill säga med alla snurr inriktade längs $z$ -axeln.

Detta är en mellanrumsfas, vilket betyder att de exciterade tillstånden med lägst energi har en energi som är högre än grundtillståndsenergin med en mängd som inte är noll (inte försvinner i den termodynamiska gränsen). I synnerhet är detta energigap $2|J|(1-|g|)$ .

Oordnad fas

Däremot när $|g|>1$ sägs systemet vara i den oordnade fasen. Grundtillståndet bevarar spin-flip-symmetrin och är icke degenererat. Som ett enkelt exempel, när $g$ är oändligt, är grundtillståndet ${\displaystyle |\ldots \rightarrow \rightarrow \rightarrow \ldots \rangle } ,$ det vill säga med snurrandet i $+x$ -riktningen på varje sida.

Detta är också en gapad fas. Energigapet är $2|J|(|g|-1)$

Gapfri fas

När $|g|=1$ , systemet genomgår en kvantfasövergång. Vid detta värde på $g$ har systemet gapfria excitationer och dess lågenergibeteende beskrivs av den tvådimensionella Ising konforma fältteorin. Denna konforma teori har central laddning $c=1/2$ och är den enklaste av de enhetliga minimalmodellerna med centralladdning Förutom identitetsoperatorn har teorin två primära fält, ett med skalningsmått $(1/16,1/16)$ och ytterligare en med skalningsmått $(1/2,1/ 2)$ .

Jordan-Wigner-förvandling

Det är möjligt att skriva om spin-variablerna som fermioniska variabler, med hjälp av en mycket icke-lokal transformation som kallas Jordan-Wigner-transformationen.

En operatör för att skapa fermion på plats $j$ kan definieras som $c_{j}^{\dolk }={ \frac {1}{2}}(Z_{j}+iY_{j})\prod _{k<j}X_{k}$ . Sedan kan det tvärgående fältet Ising Hamiltonian (förutsatt en oändlig kedja och ignorera gränseffekter) uttryckas helt som en summa av lokala kvadratiska termer som innehåller skapande och förintelseoperatorer.

$H=-J\sum _{j}(c_{j}^{\dolk }c_{j+1}+c_{j+1}^{\dolk }c_{j}+c_ {j}^{\dolk }c_{j+1}^{\dolk }+c_{j+1}c_{j}-2g(c_{j}^{\dolk }c_{j}-1/2 ))$

Denna Hamiltonian misslyckas med att bevara det totala fermiontalet och har inte den associerade $U(1)$ globala kontinuerliga symmetrin, på grund av närvaron av ${\displaystyle c_{j}^{\dolk }c_{j+1}^{\dolk }+c_{j+1}c_{j}} term$ . Det bevarar dock fermionparitet. Det vill säga, Hamiltonian pendlar med kvantoperatorn som indikerar om det totala antalet fermioner är jämnt eller udda, och denna paritet ändras inte under tidsutvecklingen av systemet. Hamiltonian är matematiskt identisk med den för en supraledare i medelfältet Bogoliubov-de Gennes formalism och kan helt förstås på samma standardsätt. Det exakta excitationsspektrumet och egenvärdena kan bestämmas genom att Fourier transformerar till momentumrum och diagonaliserar Hamiltonian. När det gäller Majorana-fermioner $a_{j}=c_{j}^{\dolk }+c_{j}$ och $b_{j}=-i(c_{j}^{\dolk }-c_{j})$ , Hamiltonian antar en ännu enklare form,

$H=i\sum _{j}J(a_{j+1}b_{j}+gb_{j}a_ {j})$

Kramers-Wannier dualitet

En icke-lokal kartläggning av Pauli-matriser känd som Kramers–Wannier-dualitetstransformationen kan göras enligt följande:

$${\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}Z_{ j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}$$

Sedan, i termer av de nydefinierade Pauli-matriserna med tilder, som följer samma algebraiska relationer som de ursprungliga Pauli-matriserna, är Hamiltonian helt enkelt $H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{ \tilde {X}}_{j})$ . Detta indikerar att modellen med kopplingsparameter $g$ är dubbel mot modellen med kopplingsparameter ${\displaystyle g^{-1}} ,$ och etablerar en dualitet mellan den ordnade fasen och den oordnade fasen. När det gäller Majorana-fermionerna som nämnts ovan är denna dualitet tydligare manifesterad i den triviala ommärkningen $a_{j}\to b_{j},b_{j} \to a_{j+1}$ .

Observera att det finns några subtila överväganden vid gränserna för Ising-kedjan; som ett resultat av dessa ändras degenererings- och ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} symmetriegenskaperna för de ordnade och oordnade faserna under Kramers-Wannier-dualiteten.$

Generaliseringar

Potts-kvantmodellen med q-tillstånd och kvantklockmodellen $Z_{q}$ är generaliseringar av det tvärgående fältet Ising-modell till gittersystem med $q$ -tillstånd per plats. Det tvärgående fältet Ising-modellen representerar fallet där $q=2$ .

Klassisk Ising-modell

Kvanttvärfältet Ising-modellen i $d$ -dimensioner är dubbel till en anisotropisk klassisk Ising-modell i $d+1$ -dimensionerna.