Quantum klocka modell

Kvantklockmodellen är en kvantgittermodell . Det är en generalisering av Ising-modellen med tvärfält . Det definieras på ett gitter med $N$ tillstånd på varje plats. Hamiltonian av denna modell är

$H=-J\left(\sum _ {\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dolk }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dolk })+g\sum _{j}(X_{j }+X_{j}^{\dolk })\right)$

Här hänvisar sänkningarna till gitterplatser, och summan $\sum _{\langle i,j\rangle }$ görs över par av närmaste grannplatser $i$ och $j$ . Klockmatriserna $X_{j}$ och $Z_{j}$ är $N\ gånger N$ generaliseringar av Pauli-matriserna som uppfyller

$Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{ j,k}}X_{k}Z_{j}$ och $X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1$

där $\delta _{j,k}$ är 1 om $j$ och $k$ är samma plats och i övrigt noll. $J$ är en prefaktor med dimensioner av energi, och $g$ är en annan kopplingskoefficient som bestämmer den relativa styrkan hos det yttre fältet jämfört med närmaste granninteraktion.

Modellen följer en global $\mathbb {Z} _{N}$ symmetri, som genereras av enhetsoperatorn $U_{X}=\prod _{j} X_{j}$ där produkten är över varje plats i gittret. Med andra ord, $U_{X}$ pendlar med Hamiltonian.

När $N=2$ är kvantklockmodellen identisk med Ising-modellen med tvärfält. När $N=3$ motsvarar kvantklockmodellen Potts-kvantmodellen med tre tillstånd . När $N=4$ är ​​modellen återigen likvärdig med Ising-modellen. När $N>4$ har starka bevis hittats för att fasövergångarna som visas i dessa modeller borde vara vissa generaliseringar av Kosterlitz–Thouless transition , vars fysiska natur fortfarande är i stort sett okänd.

Endimensionell modell

Det finns olika analytiska metoder som kan användas för att studera kvantklockmodellen specifikt i en dimension.

Kramers–Wannier-dualitet

En icke-lokal mappning av klockmatriser känd som Kramers–Wannier-dualitetstransformationen kan göras enligt följande:

$${\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j} ^{\dolk }Z_{j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}^{\dolk }{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1} \end{aligned}}$$

Sedan, i termer av de nydefinierade klockmatriserna med tilder, som följer samma algebraiska relationer som de ursprungliga klockmatriserna, är Hamiltonian helt enkelt $H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}^{\dolk }{\tilde {Z}}_{j+1} +g^{-1}{\tilde {X}}_{j}^{\dolk }+{\textrm {hc}})$ . Detta indikerar att modellen med kopplingsparameter $g$ är dubbel mot modellen med kopplingsparameter ${\displaystyle g^{-1}} ,$ och etablerar en dualitet mellan den ordnade fasen och den oordnade fasen.

Observera att det finns några subtila överväganden vid gränserna för den endimensionella kedjan; som ett resultat av dessa ändras fasernas degeneration och $\mathbb {Z} _{N}$ symmetriegenskaper under Kramers–Wannier-dualiteten. En mer noggrann analys innebär att teorin kopplas till ett $\mathbb {Z} _{N}$ mätfält; fixering av mätaren reproducerar resultaten av Kramers Wannier-transformationen.

Fasövergång

För $N=2,3,4$ finns det en unik fasövergång från den ordnade fasen till den oordnade fasen vid $g=1$ . Modellen sägs vara "självdual" eftersom Kramers–Wanniers transformation förvandlar Hamiltonian till sig själv. För $N>4$ finns det två fasövergångspunkter vid $g_{1}<1$ och $g_{2} =1/g_{1}>1$ . Starka bevis har hittats för att dessa fasövergångar borde vara en klass av generaliseringar av övergången Kosterlitz–Thouless . KT-övergången förutspår att den fria energin har en väsentlig singularitet som går som ${\displaystyle e^{-{\tfrac {c}{\sqrt {|g-g_{c}|}}}}} ,$ medan störande studie fann att den väsentliga singulariteten beter sig som ${\displaystyle e^{-{\tfrac {c}{|g-g_{c}|^{\sigma }}}}} där σ {\displaystyle \sigma } går från$ 0.2 $\$ displaystyle $}$ till $0.5$ när $N$ ökar från $5$ till $9$ . De fysiska bilderna av dessa fasövergångar är fortfarande inte klara.

Jordan–Wigner-förvandling

En annan icke-lokal kartläggning känd som Jordan Wigner-transformationen kan användas för att uttrycka teorin i termer av parafermioner.