Kramers–Wannier-dualitet

Kramers -Wannier-dualiteten är en symmetri i statistisk fysik . Den relaterar den fria energin hos en tvådimensionell Ising-modell med kvadratiskt gitter vid låg temperatur till den hos en annan Ising-modell vid hög temperatur. Den upptäcktes av Hendrik Kramers och Gregory Wannier 1941. Med hjälp av denna dualitet hittade Kramers och Wannier den exakta platsen för den kritiska punkten för Ising-modellen på det kvadratiska gallret.

Liknande dualiteter etablerar relationer mellan fria energier från andra statistiska modeller. Till exempel, i tre dimensioner är Ising-modellen dubbel till en Ising-mätaremodell.

Intuitiv idé

Den 2-dimensionella Ising-modellen finns på ett galler, som är en samling rutor i ett schackbrädesmönster. Med det finita gittret kan kanterna kopplas ihop för att bilda en torus. I teorier av detta slag konstruerar man en involutiv transformation . Lars Onsager föreslog till exempel att Stjärntriangel-transformationen skulle kunna användas för det triangulära gittret. Nu är dualen av den diskreta torusen sig själv . Dessutom är dualen av ett mycket oordnat system (hög temperatur) ett välordnat system (låg temperatur). Detta beror på att Fouriertransformen tar en signal med hög bandbredd (mer standardavvikelse ) till en låg (mindre standardavvikelse). Så man har i huvudsak samma teori med en omvänd temperatur.

När man höjer temperaturen i en teori sänker man temperaturen i den andra. Om det bara finns en fasövergång kommer det att vara vid den punkt där de korsar, där temperaturen är lika. Eftersom 2D Ising-modellen går från ett oordnat tillstånd till ett ordnat tillstånd, finns det en nästan en-till-en-mappning mellan de oordnade och ordnade faserna.

Teorin har generaliserats och är nu blandad med många andra idéer. Till exempel är det kvadratiska gittret ersatt av en cirkel, slumpmässigt gitter, icke-homogen torus, triangulärt gitter, labyrint, gitter med vridna gränser, kiral Potts-modell och många andra.

En av konsekvenserna av Kramers-Wannier-dualitet är en exakt överensstämmelse i spektrumet av excitationer på varje sida av den kritiska punkten. Detta demonstrerades nyligen via THz-spektroskopi i 1D-spinkedjor.

Härledning

Definiera dessa variabler. Den låga temperaturexpansionen för (K ^* ,L ^* ) är

$Z_{N}(K ^{*},L^{*})=2e^{N(K^{*}+L^{*})}\summa _{P\subset \Lambda _{D}}(e^{-2L ^{*}})^{r}(e^{-2K^{*}})^{s}$

vilket genom att använda transformationen

$\tanh K=e^{-2L^{*}},\ \tanh L=e^{-2K^{* }}$

ger

$Z_{N}(K^{*},L^{*})= 2(\tanh K\;\tanh L)^{-N/2}\sum _{P}v^{r}w^{s}$

$=2(\sinh 2K\;\sinh 2L)^{-N/2}Z_{N}(K,L)$

där v = tanh K och w = tanh L . Detta ger ett samband med högtemperaturexpansionen. Relationerna kan skrivas mer symmetriskt som

${\displaystyle \,\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1} sinh$

$\displaystyle \,\sinh 2L^{ *}\sinh 2K=1}$

Med den fria energin per plats i den termodynamiska gränsen

$f(K,L)=\lim _ {N\högerpil \infty }f_{N}(K,L)=-kT\lim _{N\högerpil \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}(K,L)$

Kramers–Wannier-dualiteten ger

$f(K^{*},L^{*})= f(K,L)+{\frac {1}{2}}kT\log(\sinh 2K\sinh 2L)$

I det isotropiska fallet där K = L , om det finns en kritisk punkt vid K ​​= K _c så finns det en annan vid K ​​= K ^* _c . _{Följaktligen} kTc = 2,2692J , om det finns en unik kritisk punkt, skulle den vara belägen vid K ​​= K ^* = K ^* _c , vilket innebär sinh 2K _c = 1 , vilket ger .

Se även

• Ising modell
• S-dualitet
• ZN-modell

externa länkar

• HA Kramers och GH Wannier (1941). "Statistik för den tvådimensionella ferromagneten". Fysisk granskning . 60 (3): 252–262. Bibcode : 1941PhRv...60..252K . doi : 10.1103/PhysRev.60.252 .
• JB Kogut (1979). "En introduktion till gittermåttteori och spinnsystem". Recensioner av modern fysik . 51 (4): 659–713. Bibcode : 1979RvMP...51..659K . doi : 10.1103/RevModPhys.51.659 .