Tsen rang
Inom matematiken beskriver Tsen- rankningen av ett fält förhållanden under vilka ett system av polynomekvationer måste ha en lösning i fältet . Konceptet är uppkallat efter CC Tsen , som introducerade sin studie 1936.
Vi betraktar ett system av m polynomekvationer i n variabler över ett fält F . Antag att alla ekvationerna har konstant term noll, så att (0, 0, ... ,0) är en vanlig lösning. Vi säger att F är ett T i - fält om varje sådant system, av grader d 1 , ..., d m har en gemensam lösning som inte är noll närhelst
Tsen -graden för F är den minsta i så att F är ett Ti - fält. Vi säger att Tsen-graden för F är oändlig om den inte är ett T i -fält för något i (till exempel om det är formellt verkligt ).
Egenskaper
- Ett fält har Tsen-ranking noll om och endast om det är algebraiskt stängt .
- Ett ändligt fält har Tsen-ranking 1: detta är Chevalley–Varning-satsen .
- Om F är algebraiskt stängt har det rationella funktionsfältet F ( X ) Tsen rank 1.
- Om F har Tsen rang i , så har det rationella funktionsfältet F ( X ) Tsen rang som högst i + 1.
- Om F har Tsen rang i , så har en algebraisk förlängning av F Tsen rang högst i .
- Om F har Tsen rang i , så har en förlängning av F av transcendensgrad k Tsen rang högst i + k .
- Det finns fält med Tsen rang i för varje heltal i ≥ 0.
Normform
Vi definierar en normform av nivå i på ett fält F som ett homogent polynom av grad d i n = d i variabler med endast den triviala nollan över F (vi utesluter fallet n = d =1). Förekomsten av en normform på nivå i på F innebär att F är av Tsen rang åtminstone i − 1. Om E är en förlängning av F av ändlig grad n > 1, så är fältnormformen för E / F en norm form av nivå 1. Om F medger en normform av nivå i så tillåter det rationella funktionsfältet F ( X ) en normform av nivå i + 1. Detta tillåter oss att demonstrera förekomsten av fält av någon given Tsen-grad.
Diofantisk dimension
Den diofantiska dimensionen av ett fält är det minsta naturliga talet k , om det finns, så att fältet av är klass C k : det vill säga så att varje homogent polynom med grad d i N variabler har en icke-trivial noll närhelst N > d k . Algebraiskt slutna fält är av diofantisk dimension 0; kvasi-algebraiskt slutna fält av dimension 1.
00 Om ett fält är Ti då är det Ci, och T och C är ekvivalenta , var och en är ekvivalent med att vara algebraiskt stängda. Det är inte känt om Tsen-rank och diofantisk dimension är lika i allmänhet.
Se även
- Tsen, C. (1936). "Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper". J. Kinesisk matematik. Soc . 171 : 81–92. Zbl 0015.38803 .
- Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volym II: Fält med struktur, algebror och avancerade ämnen . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4 .