Trilliumsatsen

I euklidisk geometri är trilliumsatsen – (från ryska: лемма о трезубце , bokstavligen 'lemma om treudd' , ryska: теорема трилистника , bokstavligen 'trilliumsats' eller 'sats om trefoil om', skriva ett uttalande om trefoil ) kretsar och deras relationer.

Sats

Trilliumsatsen

Låt $ABC$ vara en godtycklig triangel . Låt $I$ vara dess centrum och låt $D$ vara punkten där linjen $BI$ (vinkelhalveringslinjen för $∠ ABC$ ) korsar den omslutna cirkeln av $ABC$ . Sedan säger satsen att $D$ är lika långt från $A$ , $C$ , och $I$ . Motsvarande:

Cirkeln genom $A$ , $C$ och $I$ har sitt centrum vid $D$ . I synnerhet innebär detta att centrum av denna cirkel ligger på den omslutna cirkeln.
De tre trianglarna $AID$ , $CID$ och $ACD$ är likbenta , med $D$ som sin spets.

En fjärde punkt, excentern för $ABC$ i förhållande till $B$ , ligger också på samma avstånd från $D$ , diametralt motsatt $I$ . Detta kallas ofta för "Incenter-Excenter Lemma".

Bevis

Genom den inskrivna vinkelsatsen ,

|\angle IBA|=|\angle DCA|,\quad |\angle IBC|=|\angle DAC|.

Eftersom $BI$ är en vinkelhalveringslinje,

|\angle DCA|=|\angle DAC|\Rightarrow |AD|=|CD|.

Vi får också

{\begin{aligned}|\angle DIA|={}&180^{\circ }-|\angle AIB|\\[6pt]={}&180^{\circ }-(180^{\circ }-|\angle IAB|-|\angle IBA|)\\[6pt]={}&|\angle IAB|+|\angle IBA|\\[6pt]={}&|\angle IAC|+| \angle DAC|\\[6pt]={}&|\angle IAD|\\[6pt]\Rightarrow |AD|={}&|DI|.\end{aligned}}

Tillämpning på triangelrekonstruktion

Detta teorem kan användas för att rekonstruera en triangel med utgångspunkt från platserna för endast en vertex, triangelns incenter och circumcenter . För, låt $B$ vara den givna vertexen, $I$ vara incenter och $O$ vara circumcenter. Denna information möjliggör successiv konstruktion av:

den omskrivna cirkeln av den givna triangeln, som cirkeln med centrum $O$ och radie $OB$ ,
punkt $D$ som skärningspunkten mellan den omslutna cirkeln och linjen $BI$ ,
satsens cirkel, med centrum $D$ och radie $DI$ , och
hörn $A$ och $C$ som skärningspunkter för de två cirklarna.

Men för vissa trippel av punkterna $B$ , $I$ och $O$ kan denna konstruktion misslyckas, antingen för att linjen $IB$ är tangent till den omslutna cirkeln eller för att de två cirklarna inte har två korsningspunkter. Det kan också producera en triangel där den givna punkten $I$ är ett excenter snarare än mitten. I dessa fall kan det inte finnas någon triangel som har $B$ som vertex, $I$ som incenter och $O$ som circumcenter.

Andra triangelrekonstruktionsproblem, såsom rekonstruktionen av en triangel från en vertex, incenter och centrum av dess niopunktscirkel , kan lösas genom att reducera problemet till fallet med en vertex, incenter och circumcenter.

Generalisering

Låt $I$ och $J$ vara två av de fyra punkterna som ges av mitten och de tre excenterna i en triangel $ABC$ . Då $I$ och $J$ kolinjära med en av de tre triangelns hörn. Cirkeln med $IJ som diameter passerar genom de andra två hörnen och är centrerad på$ $ABC$ -cirkeln . När en av $I$ eller $J$ är mitten är detta trilliumsatsen, med linjen $IJ$ som (inre) vinkelhalveringslinje för en av triangelns vinklar. Men det är också sant när $jag$ och $J$ båda är excenter; i detta fall är linjen $IJ$ den yttre vinkelhalveringslinjen för en av triangelns vinklar.

Se även

Vinkelhalveringssats

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Incenter-Excenter Circle" . MathWorld .