Transserier

Inom matematik är fältet $\mathbb {T} ^{LE}$ i logaritmisk-exponentiella transserier ett icke-arkimediskt ordnat differentialfält som utökar jämförbarheten av asymptotiska tillväxthastigheter för elementära icke-trigonometriska funktioner till en mycket bredare klass av föremål. Varje log-exp-transserie representerar ett formellt asymptotiskt beteende, och det kan manipuleras formellt, och när det konvergerar (eller i varje fall om man använder speciell semantik som genom oändliga surrealistiska tal), motsvarar det faktiskt beteende . Transserier kan också vara praktiska för att representera funktioner. Genom sin inkludering av exponentiering och logaritmer är transserier en stark generalisering av potensserien vid oändligheten ( ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{ n}}{x^{n}}}}$ ) och andra liknande asymptotiska expansioner .

Fältet $\mathbb {T} ^{LE}$ introducerades oberoende av Dahn-Göring och Ecalle i respektive sammanhang av modellteori eller exponentiella fält och av studiet av analytisk singularitet och bevis av Ecalle Dulac gissar. Det utgör ett formellt objekt som utökar fältet för exp-log-funktioner hos Hardy och fältet för accelerando-summbara serier av Ecalle.

Fältet $\mathbb {T} ^{LE}$ har en rik struktur: ett ordnat fält med en föreställning om generaliserade serier och summor, med en kompatibel härledning med distingerad antiderivation, kompatibla exponential- och logaritmfunktioner och en begreppet formell sammansättning av serier.

Exempel och motexempel

Informellt sett är exp-log-transserier välbaserade (dvs. omvänd välordnade) formella Hahn-serier av reella potenser av det positiva oändliga obestämda $x$ , exponentialer, logaritmer och deras sammansättningar, med reella koefficienter. Två viktiga ytterligare villkor är att det exponentiella och logaritmiska djupet för en exp-log-transserie $f,$ som är det maximala antalet iterationer av exp och log som förekommer i $f,$ måste vara ändligt.

Följande formella serier är log-exp transserier:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{x^{\frac {1}{n}}}}{n!}}+x^{3}+\ log x+\log \log x+\sum _{n=0}^{\infty }x^{-n}+\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\summa _{j= 1}^{\infty }e^{ix^{2}-jx}}.$

$\sum _{m,n\in \mathbb {N} }x^{\frac {1}{m+1}}e^{-(\log x)^{n}}.$

Följande formella serier är inte log-exp-transserier:

$\sum _{n\in \mathbb {N} }x^{n}$ — den här serien är inte välbaserad.

$\log x+\log \log x+\log \log \log x+\cdots$ — det logaritmiska djupet för denna serie är oändligt

${\frac {1}{2}}x+e^{{\frac {1}{2}}\ log x}+e^{e^{{\frac {1}{2}}\log \log x}}+\cdots$ — de exponentiella och logaritmiska djupen i denna serie är oändliga

Det är möjligt att definiera differentialfält för transserier som innehåller de två sista serierna; de tillhör $\mathbb {T} ^{EL}$ respektive $\mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle$ (se stycket Använd surrealistiska siffror nedan).

Introduktion

Ett anmärkningsvärt faktum är att asymptotiska tillväxthastigheter för elementära icke-trigonometriska funktioner och till och med alla funktioner som kan definieras i modellens teoretiska struktur ( $\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,<, \exp )}$ av det ordnade exponentialfältet av reella tal är alla jämförbara: För alla sådana $f$ och $g$ , har vi $f\leq _{\infty } g$ eller $g\leq _{\infty }f$ , där $f\leq _{\infty }g$ betyder $\exists x.\forall y>xf(y)\leq g(y)$ . Ekvivalensklassen för $f$ under relationen $f\leq _{\infty }g\wedge g\leq _{\infty }f$ är det asymptotiska beteendet av $f$ , även kallad grodden till $f$ (eller grodden till $f$ i oändligheten).

Området transserier kan intuitivt ses som en formell generalisering av dessa tillväxthastigheter: Förutom de elementära operationerna stängs transserier under "gränser" för lämpliga sekvenser med avgränsat exponentiellt och logaritmiskt djup. En komplikation är dock att tillväxthastigheterna är icke- arkimediska och därför inte har den minsta övre gränsen egenskapen . Vi kan ta itu med detta genom att associera en sekvens med den minsta övre gränsen för minimal komplexitet, analogt med konstruktion av surrealistiska tal. Till exempel, ${\textstyle (\sum _{k=0}^{n}x^{-k})_{n\in \mathbb {N} }}$ är associerad med ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}}$ snarare än ${\textstyle \ summa _{k=0}^{\infty }x^{-k}-e^{-x}}$ eftersom $e^{-x}$ förfaller för snabbt, och om vi identifierar snabb förfall med komplexitet har den större komplexitet än nödvändigt (även eftersom vi bara bryr oss om asymptotiskt beteende är punktvis konvergens inte dispositiv).

På grund av jämförbarheten inkluderar transserier inte oscillerande tillväxthastigheter (som ${\displaystyle \sin x} )$ . Å andra sidan finns det transserier som ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }k!e^{x^{-{\frac {k}{k+1}}}}} som inte gör$ det direkt motsvara konvergenta serier eller verkligt värderade funktioner. En annan begränsning av transserier är att var och en av dem begränsas av ett torn av exponentialer, dvs en finit iteration ${\displaystyle e^{e^{.^{.^{.^{e^{x}}}}}}} av$ e $\displaystyle e^{x}}$ , därigenom utesluter tetration och annan transexponentiell funktioner, dvs funktioner som växer snabbare än något torn av exponentialer. Det finns sätt att konstruera fält av generaliserade transserier inklusive formella transexponentiella termer, till exempel formella lösningar $e_{\omega }$ i Abel-ekvationen $e^{e_{\omega }(x)}=e_{\omega }(x+1)$ .

Formell konstruktion

Transserier kan definieras som formella (potentiellt oändliga) uttryck, med regler som definierar vilka uttryck som är giltiga, jämförelse av transserier, aritmetiska operationer och till och med differentiering. Lämpliga transserier kan sedan tilldelas motsvarande funktioner eller bakterier, men det finns subtiliteter som involverar konvergens. Även transserier som divergerar kan ofta meningsfullt (och unikt) tilldelas faktiska tillväxthastigheter (som överensstämmer med de formella operationerna på transserier) med accelerosummation, som är en generalisering av Borel- summering .

Transserier kan formaliseras på flera likvärdiga sätt; vi använder en av de enklaste här.

En transserie är en välgrundad summa,

$\sum a_{i}m_{i},$

med ändligt exponentiellt djup, där varje $a_{i}$ är ett reellt tal som inte är noll och $m_{i}$ är ett moniskt transmonomial ( $a_{i}m_ {i}$ är en transmonomial men är inte monisk såvida inte koefficienten $a_{i}=1$ ; varje $m_{i}$ är olika; ordningen på summeringarna är irrelevant ).

Summan kan vara oändlig eller transfinit; det skrivs vanligtvis i ordningen av minskande $m_{i}$ .

Här betyder välbaserad att det inte finns någon oändlig stigande sekvens $m_{i_{1}}<m_{i_{2}}<m_{i_{3 }}<\cdots$ (se välordning ).

En monisk transmonomial är en av 1, x , log x , log log x , ..., e ^{purely_large_transseries} .

Obs: Eftersom $x^{n}=e^{n\log x}$ inkluderar vi det inte som en primitiv, men många författare gör det; loggfria transserier inkluderar inte $\log$ men $x^{n}e^{\cdots }$ är tillåtet. Cirkularitet i definitionen undviks också eftersom purely_large_transseries (ovan) kommer att ha lägre exponentiellt djup; definitionen fungerar genom rekursion på det exponentiella djupet. Se "Log-exp-transserier som itererade Hahn-serier" (nedan) för en konstruktion som använder $x^{a}e^{\cdots }$ och explicit separerar olika stadier.

En rent stor transserie är en icke-tom transserie ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$ med varje $m_{i}>1$ .

Transserier har ändligt exponentiellt djup , där varje nivå av kapsling av e eller log ökar djupet med 1 (så vi kan inte ha x + log x + log log x + ...).

Addition av transserier är termiskt: ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}+\sum b_{i}m_{ i}=\summa (a_{i}+b_{i})m_{i}} ($ frånvaro av en term likställs med en nollkoefficient).

Jämförelse:

Den mest signifikanta termen för ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$ är $a_{i}m_{i}$ för den största $m_ {i}$ (eftersom summan är välbaserad, finns detta för transserier som inte är noll). ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$ är positiv om koefficienten för den mest signifikanta termen är positiv (det är därför vi använde 'rent stor' ovan). X > Y om X − Y är positivt.

Jämförelse av moniska transmonomialer:

$x=e^{\log x},\log x=e^{\log \log x},\ldots$ – det är de enda jämlikheterna i vår konstruktion.

$x>\log x>\log \log x>\cdots >1>0.$

$e ^{a}<e^{b}$ iff $a<b$ (även $e^{0}=1$ ).

Multiplikation:

$e^{a}e^{b}=e^{a+b}$

$\left(\sum a_{i}x_{i}\right)\left(\sum b_{j}y_{j}\right)=\summa _{k}\left(\summa _{i ,j\,:\,z_{k}=x_{i}y_{j}}a_{i}b_{j}\right)z_{k}.$

Detta gäller i huvudsak distributionslagen för produkten; eftersom serien är välbaserad är den inre summan alltid ändlig.

Differentiering:

$\left(\sum a_{i}x_{i}\right)'=\summa a_{i}x_{i}'$

$1'=0,x'=1$

$(e^{y})'=y'e^{y}$

$(\log y)'=y'/y$ (division definieras med multiplikation).

Med dessa definitioner är transserier ett ordnat differentialfält. Transseries är också ett värderat fält , med värderingen $\nu$ som ges av den ledande moniska transmonomialen, och den motsvarande asymptotiska relationen definierad för $0\neq f,g\in \mathbb {T} ^{LE}$ av $f\prec g$ om $\forall 0<r\in \mathbb {R} ,|f|<r|g|$ (där $|f|=\max(f, -f)$ är det absoluta värdet).

Andra konstruktioner

Log-exp transserier som itererade Hahn-serier

Loggfria transserier

Vi definierar först underfältet $\mathbb {T} ^{E}$ av $\mathbb {T} ^{LE}$ för så kallade logfria transserier . De är transserier som utesluter alla logaritmiska termer.

Induktiv definition:

För $n\in \mathbb {N} ,$ kommer vi att definiera en linjärt ordnad multiplikativ grupp av monomialer ${\mathfrak {M}}_{n}$ . Vi låter sedan $\mathbb {T} _{n}^{E}$ beteckna fältet för välbaserad serie $\mathbb {R} [[{\ mathfrak {M}}_{n}]]$ . Detta är uppsättningen av kartor $\mathbb {R} \to {\mathfrak {M}}_{n}$ med välbaserat (dvs. omvänt välordnat) stöd, utrustad med punktvis summa och Cauchy produkt (se Hahn-serien ). I $\mathbb {T} _{n}^{E}$ urskiljer vi den (icke-enhetliga) subringen $\mathbb {T} _{n,\succ }^{E}$ av rent stora transserier , som är serier vars stöd endast innehåller monomialer som ligger strikt över $1$ .

Vi börjar med ${\mathfrak {M}}_{0}=x^{\mathbb {R} }$ utrustad med produkten $x ^{a}x^{b}:=x^{a+b}$ och ordningen $x^{a}\prec x^{b}\leftrightarrow a< b$ .

Om $n\in \mathbb {N}$ är sådan att ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}} ,$ och därmed $\mathbb {T} _{n}^{E}$ och $\mathbb {T} _{n,\succ }^{E}$ är definierade, vi låter ${\mathfrak {M}}_{n+1}$ betecknar uppsättningen formella uttryck $x^{a}e^{\theta }$ där $a\in \mathbb {R }$ och $\theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}$ . Detta bildar en linjärt ordnad kommutativ grupp under produkten ${\displaystyle (x^{a}e^{\ theta })(x^{a'}e^{\theta '})=(x^{a+a'})e^{\theta +\theta '}} och den lexikografiska$ ordningen $x^{a}e^{\theta }\prec x^{a'}e^{\theta '}$ om och endast om $\theta <\ theta '$ eller ( $\theta =\theta '$ och ${\displaystyle a<a'} )$ .

Den naturliga inkluderingen av ${\mathfrak {M}}_{0}$ i ${\mathfrak {M}}_{1}$ ges genom att identifiera $x^{a }$ och $x^{a}e^{0}$ ger induktivt en naturlig inbäddning av ${\mathfrak {M}}_{n}$ i ${\ displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$ , och därmed en naturlig inbäddning av $\mathbb {T} _{n}^{E}$ i ${\ displaystyle \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$ . Vi kan sedan definiera den linjärt ordnade kommutativa gruppen ${\textstyle {\mathfrak {M}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {M}}_{ n}}$ och det ordnade fältet ${\textstyle \mathbb {T} ^{E}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{ n}^{E}}$ som är området för stockfria transserier.

Fältet $\mathbb {T} ^{E}$ är ett korrekt underfält till fältet $\mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]$ av välbaserade serier med reella koefficienter och monomer i ${\mathfrak {M}}$ . Faktum är att varje serie $f$ i $\mathbb {T} ^{E}$ har ett begränsat exponentiellt djup, dvs det minst positiva heltal $n$ så att $f\in \mathbb {T} _{n}^{E}$ , medan serien

$e^{-x}+e^{-e^{x}}+e^{-e^ {e^{x}}}+\cdots \in \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]$

har ingen sådan bunden.

Exponentiering på $\mathbb {T} ^{E}$ :

Fältet för logfria transserier är utrustat med en exponentiell funktion som är en specifik morfism $\exp :(\mathbb {T} ^{E },+)\to (\mathbb {T} ^{E,>},\times )$ . Låt $f$ vara en logfri transserie och låt $n\in \mathbb {N}$ vara det exponentiella djupet för $f$ , så ${\ displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$ . Skriv $f$ som summan $f=\theta +r+\varepsilon$ i $\mathbb {T} _{n}^{E} ,$ där ${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}} ,$ r $\displaystyle r}$ är ett reellt tal och $\varepsilon$ är oändligt liten (vilken som helst kan vara noll). Sedan den formella Hahn-summan

$E(\varepsilon ):=\summa _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon ^{k}}{k!}}$

konvergerar i $\mathbb {T} _{n}^{E}$ , och vi definierar ${ \displaystyle \exp(f)=e^{\theta }\exp(r)E(\varepsilon )\in \mathbb {T} _{n+1}^{E}} där$ exp $\ displaystyle \exp(r)}$ är värdet på den verkliga exponentialfunktionen vid $r$ .

Högerkomposition med $e^{x}$ :

En högerkomposition $\circ _{e^{x}}$ med serien $e^{x}$ kan definieras genom induktion på det exponentiella djupet med

$\left(\sum f_{\mathfrak {m}}{\mathfrak {m}}\right)\circ e ^{x}:=\summa f_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {m}}\circ e^{x}),$

med $x^{r}\circ e^{x}:=e^{rx}$ . Det följer induktivt att monomer bevaras av $\circ _{e^{x}},$ så vid varje induktivt steg är summorna välbaserade och därmed väldefinierade.

Log-exp transserier

Definition:

Funktionen $\exp$ definierad ovan är inte på $\mathbb {T} ^{E,>}$ så logaritmen är endast delvis definierad på $\mathbb {T } ^{E}$ : till exempel har serien $x$ ingen logaritm. Dessutom är varje positiv oändlig logfri transserie större än någon positiv effekt av $x$ . För att gå från $\mathbb {T} ^{E}$ till $\mathbb {T} ^{LE}$ kan man helt enkelt "plugga" till variabeln ${\ displaystyle x}$ av serier formella itererade logaritmer $\ell _{n},n\in \mathbb {N}$ som kommer att bete sig som den formella reciproka av $n$ -falden itererad exponentiell term betecknad $e_{n}$ .

För $m,n\in \mathbb {N} ,$ låt ${\mathfrak {M}}_{m,n}$ beteckna mängden formella uttryck ${\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}$ där ${\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m }$ . Vi gör detta till en ordnad grupp genom att definiera $({\mathfrak {u}}\circ \ell _{ n})({\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}(x)):=({\mathfrak {u}}{\mathfrak {v}})\circ \ell _{n}$ , och definiera ${\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}\prec {\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}$ när ${\mathfrak {u}}\prec {\mathfrak {v}}$ . Vi definierar $\mathbb {T} _{m,n}^{LE}:=\mathbb {R} [[{\mathfrak { M}}_{m,n}]]$ . Om $n'>n$ och $m'\geq m+(n'-n),$ bäddar vi in ${\ displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$ till ${\mathfrak {M}}_{m',n'}$ genom att identifiera ett element ${ \displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$ med termen

$\left({\mathfrak {u}}\circ \overbrace {e^{x}\circ \cdots \circ e^{x}} ^{n'-n}\right)\circ \ell _ {n'}.$

Vi får sedan $\mathbb {T} ^{LE}$ som den riktade föreningen

$\mathbb {T} ^{LE}=\bigcup _{m,n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{m,n}^{LE}.$

På $\mathbb {T} ^{LE},$ definieras den högra kompositionen $\circ _{\ell }$ med ${\displaystyle \ell } naturligt av$

$\mathbb {T} _{m,n}^{LE}\ni \left(\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}} \circ \ell _{n}\right)\circ \ell :=\summa f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{ n+1}\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.$

Exponential och logaritm:

Exponentiering kan definieras på $\mathbb {T} ^{LE}$ på liknande sätt som för logfria transserier, men även här har $\exp$ en reciprok $\ logga$ på $\mathbb {T} ^{LE,>}$ . För en strikt positiv serie $f\in \mathbb {T} _{m,n}^{LE,>}$ skriv $f={\mathfrak {m}}r(1+\varepsilon )$ där ${\mathfrak {m}}$ är den dominerande monomialen av $f$ (största elementet av dess stöd), $r$ är motsvarande positiva reella koefficient, och $\varepsilon :={\frac {f}{{\mathfrak {m}}r}} -1$ är oändligt liten. Den formella Hahn-summan

$L(1+\varepsilon ):=\summa _{k\in \mathbb {N} }{\frac {( -\varepsilon )^{k}}{k+1}}$

konvergerar i $\mathbb {T} _{m,n}^{LE}$ . Skriv ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}$ där ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\ i {\mathfrak$ har {M}}_{m}} själv formen ${\mathfrak {u}}=x^{a}e^{\theta }$ där $\theta \in \mathbb {T} _{m,\succ }^{E}$ och $a\in \mathbb {R}$ . Vi definierar $\ell ({\mathfrak {m}}):=a\ell _{n+1}+\theta \circ \ell _{n}$ . Vi satte äntligen

$\log(f):=\ell ({\mathfrak {m}})+\log(c)+L(1+\varepsilon )\in \mathbb {T} _{m,n+1} ^{LE}.$

Använder surrealistiska siffror

Direkt konstruktion av log-exp transserier

$\mathbf {No}$ också definiera fältet för log-exp transserier som ett underfält av det ordnade fältet av surrealistiska tal. Fältet $\mathbf {No}$ är utrustat med Gonshor-Kruskals exponential- och logaritmfunktioner och med dess naturliga struktur av fält av välbaserade serier under Conways normalform.

Definiera ${\displaystyle F_{0}^{LE}=\mathbb {R} (\omega )} ,$ underfältet för $\mathbf {No}$ genererat av ${ \displaystyle \mathbb {R} }$ och det enklaste positiva oändliga surrealistiska talet $\omega$ (som naturligt motsvarar ordningen $\omega$ , och som en transserie till serien $x$ ). Sedan, för $n\in \mathbb {N}$ , definiera $F_{n+1}^{LE}$ som fältet som genereras av ${ \displaystyle F_{n}^{LE}}$ , exponentialer för element i $F_{n}^{LE}$ och logaritmer för strikt positiva element i $F_{n} ^{LE}$ , såväl som (Hahn) summor av summerbara familjer i $F_{n}^{LE}$ . Fackföreningen ${\textstyle F_{\omega }^{LE}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}^{LE}}$ är naturligt isomorf till $\mathbb {T} ^{LE}$ . Faktum är att det finns en unik sådan isomorfism som skickar $\omega$ till $x$ och pendlar med exponentiering och summor av summerbara familjer i $F_{\omega }^{LE }$ ligger i $F_{\omega }$ .

Andra områden inom transserier

• Fortsätter man denna process genom transfinit induktion på $\mathbf {Ord}$ bortom ${\displaystyle F_{\omega }^{LE}} ,$ tar man fackföreningar vid limitordinaler, får man en ordentlig klass- storleksfält $\mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle$ kanoniskt utrustad med en härledning och en komposition som utökar den för $\mathbb {T} ^ {LE}$ (se Operationer på transserier nedan).

• Om man istället för $F_{0}^{LE}$ börjar med underfältet ${\displaystyle F_{0 }^{EL}:=\mathbb {R} (\omega ,\log \omega ,\log \log \omega ,\ldots )} genererad av$ R $\displaystyle \mathbb {R} }$ och alla ändliga iterater av $\log$ vid $\omega$ , och för $n\in \mathbb {N} ,F_{n+1}^{EL}$ är underfältet som genereras av ${\displaystyle F_{n}^{EL}} ,$ exponentialer för element i $F_{n}^{EL}$ och summor av summerbara familjer i $F_{n}^{EL}$ , då får man en isomorf kopia av fältet $\mathbb {T} ^{EL}$ av exponentiell-logaritmiska transserier , vilket är en korrekt förlängning av $\mathbb {T} ^{LE}$ utrustad med en total exponentialfunktion.

Berarducci-Mantova-derledningen på $\mathbf {No}$ sammanfaller på $\mathbb {T} ^{LE}$ med dess naturliga härledning, och är unik för att tillfredsställa kompatibilitetsrelationer med exponentialen ordnad fältstruktur och generaliserad seriefältstruktur av $\mathbb {T} ^{EL}$ och $\mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle .$

I motsats till $\mathbb {T} ^{LE},$ härledningen i $\mathbb {T} ^{EL}$ och $\ mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle$ är inte surjektiv: till exempel serien

$display 1}{\omega \log \omega \log \log \omega \cdots }}:=\exp(-(\log \omega +\log \log \omega +\log \log \log \omega +\cdots ) )\in \mathbb {T} ^{EL}}$

har inte en antiderivata i $\mathbb {T} ^{EL}$ eller $\mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle$ ( detta är kopplat till det faktum att dessa fält inte innehåller någon transexponentiell funktion).

Ytterligare egenskaper

Verksamhet på transserier

Operationer på det differentiellt exponentiellt ordnade fältet

Transserier har mycket starka stängningsegenskaper, och många operationer kan definieras på transserier:

• Log-exp-transserier bildar ett exponentiellt slutet ordnat fält : de exponentiella och logaritmiska funktionerna är totala. Till exempel:

$\exp(x^{-1})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{-n}\quad {\text{ och}}\quad \log(x+\ell )=\ell +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x^{-1}\ell )^{n}}{n +1}}.$

• Logaritm definieras för positiva argument.
• Log-exp-transserier är reellt stängda .
• Integration: varje log-exp transserie $f$ har en unik antiderivata med noll konstant term $F\in \mathbb {T} ^{LE}$ , $F'=f$ och $F_{1}=0$ .
• Logaritmisk antiderivata: för $f\in \mathbb {T} ^{LE}$ finns $h\in \mathbb {T} ^{LE}$ med $f'=fh'$ .

Not 1. De två sista egenskaperna betyder att $\mathbb {T} ^{LE}$ är Liouville stängd .

Note 2. Precis som en elementär icke-trigonometrisk funktion har varje positiv oändlig transserie $f$ integral exponentialitet, även i denna starka mening:

$\exists k,n\in \mathbb {N} :\quad \ell _{nk} -1\leq \ell _{n}\circ f\leq \ell _{nk}+1.$

Talet $k$ är unikt, det kallas exponentialiteten för $f$ .

Sammansättning av transserier

En ursprunglig egenskap hos $\mathbb {T} ^{LE}$ är att den tillåter en komposition ${\displaystyle \circ :\ mathbb {T} ^{LE}\times \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }\to \mathbb {T} ^{LE}} (där T L E$ , $mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ är uppsättningen av positiva oändliga log-exp-transserier) som gör det möjligt för oss att se varje log-exp-transserie $f$ som en funktion på $\mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ . Informellt sett, för $g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ och $f\in \mathbb {T } ^{LE}$ , serien $f\circ g$ erhålls genom att ersätta varje förekomst av variabeln $x$ i $f$ med $g$ .

Egenskaper

• Associativitet: för $f\in \mathbb {T} ^{LE}$ och $g,h\in \mathbb {T} ^ {LE,>,\succ }$ , vi har $g\circ h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ och $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ .
• Kompatibilitet för högerkompositioner: För $g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ , funktionen ${\ displaystyle \circ _{g}:f\mapsto f\circ g}$ är en fältautomorfism av $\mathbb {T} ^{LE}$ som pendlar med formella summor, skickar $x$ på $g$ , $e^{x}$ på $\exp(g)$ och $\ell$ på ${\ displaystyle \log(g)}$ . Vi har också $\circ _{x}=\operatörsnamn {id} _{\mathbb {T} ^{LE}}$ .
• Unicity: sammansättningen är unik för att tillfredsställa de två tidigare egenskaperna.
• Monotonicitet: för ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}} är$ funktionen $g\mapsto f\circ g$ konstant eller strikt monoton på $\mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ . Montonin beror på tecknet $f'$ .
• Kedjeregel: för $f\in \mathbb {T} ^{LE}\times$ och $g\in \mathbb {T} ^ {LE,>,\succ }$ , vi har $(f\circ g)'=g'f'\circ g$ .
• Funktionell invers: för $g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ finns det en unik serie ${ \displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ med $g\circ h=h\circ g=x$ .
• Taylorexpansion: varje log-exp transserie $f$ har en Taylorexpansion runt varje punkt i den meningen att för varje $g\in \mathbb {T} ^{LE ,>,\succ }$ och för tillräckligt liten $\varepsilon \in \mathbb {T} ^{LE}$ har vi

$f\circ (g+\varepsilon )=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(k)}\circ g}{k!}}\varepsilon ^ {k}$

där summan är en formell Hahn-summa av en summerbar familj.

• Bråk iteration: för $f\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ med exponentialitet $0$ och valfritt reellt tal $a$ , den bråkdelare iterationen $f^{a}$ av $f$ definieras.

Beslutbarhet och modellteori

Teori om differentiellt ordnat värderat differentialfält

⟨ $\left\langle +,\times ,\partial ,<,\prec \right\rangle$$\mathbb {T} ^ {LE}$ för kan avgöras och kan axiomatiseras enligt följande (detta är sats 2.2 av Aschenbrenner et al.):

• $\mathbb {T} ^{LE}$ är ett ordnat värderat differentialfält.
• $f>0\wedge f\succ 1\Longrightarrow f'>0$
• $f\prec 1\Longrightarrow f'\prec 1$
• $\forall f\exists g:\quad g'=f$
• $\forall f\exists h:\quad h'=fh$
• Egenskap med medelvärde (IVP):

$P(f)<0\wedge P(g)>0\Longrightarrow \exists h:\quad P(h) =0,$

där P är ett differentiellt polynom, dvs ett polynom i $f,f',f'',\ldots ,f^{(k)}.$

I denna teori definieras exponentiering i huvudsak för funktioner (med differentiering) men inte konstanter; i själva verket är varje definierbar delmängd av $\mathbb {R} ^{n}$ semialgebraisk .

Teori om ordnat exponentiellt fält

⟨ $\langle +,\times ,\exp ,<\rangle$ teorin för $\mathbb {T} ^{LE}$ den för exponentialen reellt ordnat exponentiellt fält ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\exp ,<)} ,$ vilket är modellen komplett med Wilkies teorem .

Härdiga fält

$\mathbb {T} _{\mathrm {as} }$ är fältet för accelerosummerbara transserier, och med accelerosummation har vi motsvarande Hardy-fält , som antas vara den maximala Hardy fält som motsvarar ett underfält av $\mathbb {T}$ . (Denna gissning är informell eftersom vi inte har definierat vilka isomorfismer av Hardy-fält till differentiella underfält av $\mathbb {T}$ som är tillåtna.) $\mathbb {T} _{\mathrm {as } }$ antas uppfylla ovanstående axiom för $\mathbb {T}$ . Utan att definiera accelerosummation, noterar vi att när operationer på konvergerande transserier producerar en divergent medan samma operationer på motsvarande bakterier producerar en giltig grodd, kan vi sedan associera de divergerande transserierna med den grodden.

Ett Hardy-fält sägs maximalt om det inte finns i något Hardy-fält. Genom en tillämpning av Zorns lemma, är varje Hardy-fält inrymt i ett maximalt Hardy-fält. Det antas att alla maximala Hardy-fält är elementära ekvivalenta som differentialfält, och faktiskt har samma första ordningens teori som $\mathbb {T} ^{LE}$ . Logaritmiska transserier motsvarar inte i sig ett maximalt Hardy-fält för inte alla transserier motsvarar en reell funktion, och maximala Hardy-fält innehåller alltid transsexponentiella funktioner.

Se även

• Formell maktserie
• Hahn-serien
• Exponentiellt stängt fält
• Tåligt fält

•   Edgar, GA (2010), "Transseries for beginners", Real Analysis Exchange , 35 (2): 253–310, arXiv : 0801.4877 , doi : 10.14321/realanalexch.35.2.0253 , S2CID 3829 .
• Aschenbrenner, Matthias; Dries, Lou van den; Hoeven, Joris van der (2017), On Numbers, Germs, and Transseries , arXiv : 1711.06936 , Bibcode : 2017arXiv171106936A .