Ternär ekvivalensrelation

Inom matematiken är en ternär ekvivalensrelation en sorts ternär relation analog med en binär ekvivalensrelation . En ternär ekvivalensrelation är symmetrisk, reflexiv och transitiv. Det klassiska exemplet är förhållandet mellan kolinearitet mellan tre punkter i det euklidiska rummet . I en abstrakt uppsättning bestämmer en ternär ekvivalensrelation en samling ekvivalensklasser eller pennor som bildar ett linjärt utrymme i betydelsen incidensgeometri . På samma sätt bestämmer en binär ekvivalensrelation på en uppsättning en partition .

Definition

En ternär ekvivalensrelation på en mängd $X$ är en relation $E \subset X 3$ , skriven $[a, b, c]$ , som uppfyller följande axiom:

Symmetri: Om $[a, b, c]$ då $[b, c, a]$ och $[c, b, a]$ . (Därför även $[a, c, b]$ , $[b, a, c]$ och $[c, a, b]$ .)
Reflexivitet: $[a, b, b]$ . På motsvarande sätt, om $a$ , $b$ , och $c$ inte alla är distinkta, då $[a, b, c]$ .
Transitivitet: Om $a \neq b$ och $[a, b, c]$ och $[a, b, d]$ så $[b, c, d]$ . (Därför även $[a, c, d]$ .)

Araújo, João; Konieczny, Janusz (2007), "A method of finding automorphism groups of endomorphism monoids of relational systems", Discrete Mathematics , 307 : 1609–1620, doi : 10.1016/j.disc.2006.09.029
Bachmann, Friedrich (1959), Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag
Karzel, Helmut (2007), "Slingor relaterade till geometriska strukturer", Quasigroups and Related Systems , 15 : 47–76
Karzel, Helmut; Pianta, Silvia (2008), "Binära operationer härledda från symmetriska permutationsuppsättningar och tillämpningar till absolut geometri", Discrete Mathematics , 308 : 415–421, doi : 10.1016/j.disc.2006.11.058
Karzel, Helmut; Marchi, Mario; Pianta, Silvia (december 2010), "The defect in an invariant reflection structure", Journal of Geometry , 99 (1–2): 67–87, doi : 10.1007/s00022-010-0058-7
Karzel, Helmut; Taherian, Sayed-Ghahreman (2018), "Grupper med en ternär ekvivalensrelation", Aequationes Mathematicae , 92 : 415–423, doi : 10.1007/s00010-018-0543-x
Lingenberg, Rolf (1979), Metriska plan och metriska vektorrum , Wiley
Pickett, HE (1966), "A not on generalized equivalence relations", American Mathematical Monthly , 73 : 860–861, doi : 10.2307/2314183
Rainich, GY (1952), "Ternaära relationer i geometri och algebra", Michigan Mathematical Journal , 1 (2): 97–111, doi : 10.1307/mmj/1028988890
Szmielew, Wanda (1981), On n -ary equivalence relations and their application to geometri , Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk