Teorema Egregium
Gauss Theorema Egregium (latin för "Anmärkningsvärd sats") är ett stort resultat av differentialgeometri , bevisad av Carl Friedrich Gauss 1827, som rör ytornas krökning . Teoremet säger att Gauss krökning helt och hållet kan bestämmas genom att mäta vinklar, avstånd och deras hastigheter på en yta, utan hänvisning till det speciella sätt på vilket ytan är inbäddad i det omgivande tredimensionella euklidiska rummet. En ytas Gaussiska krökning förändras med andra ord inte om man böjer ytan utan att sträcka den. Således är den Gaussiska krökningen en inneboende invariant av en yta.
Gauss presenterade teoremet på detta sätt (översatt från latin):
- Således leder formeln i den föregående artikeln sig själv till den anmärkningsvärda satsen. Om en krökt yta utvecklas på vilken annan yta som helst, förblir krökningsmåttet i varje punkt oförändrat.
Teoremet är "anmärkningsvärt" eftersom utgångsdefinitionen av Gaussisk krökning direkt använder sig av ytans position i rymden. Så det är ganska förvånande att resultatet inte beror på dess inbäddning trots alla böjnings- och vriddeformationer som genomgåtts.
I modern matematisk terminologi kan satsen anges på följande sätt:
Den Gaussiska krökningen av en yta är oföränderlig under lokal isometri .
Elementära applikationer
En sfär med radie R har konstant Gaussisk krökning som är lika med 1/ R 2 . Samtidigt har ett plan noll Gaussisk krökning. Som en följd av Theorema Egregium kan ett papper inte böjas på en sfär utan att skrynklas. Omvänt kan ytan av en sfär inte vikas ut på ett plant plan utan att förvränga avstånden. Om man skulle trampa på ett tomt äggskal måste dess kanter delas i expansion innan de plattas till. Matematiskt är en sfär och ett plan inte isometriska , inte ens lokalt. Detta faktum är betydelsefullt för kartografi : det antyder att ingen plan (platt) karta över jorden kan vara perfekt, inte ens för en del av jordens yta. Således förvränger varje kartografisk projektion nödvändigtvis åtminstone några avstånd.
Katenoiden och helikoiden är två ytor som ser väldigt olika ut . Ändå kan var och en av dem kontinuerligt böjas in i den andra: de är lokalt isometriska. Det följer av Theorema Egregium att under denna böjning är den Gaussiska krökningen vid godtyckliga två motsvarande punkter av katenoiden och helikoiden alltid densamma. Sålunda är isometri helt enkelt böjning och vridning av en yta utan inre skrynkling eller rivning, med andra ord utan extra spänning, kompression eller skjuvning.
En tillämpning av satsen ses när ett plant föremål är något vikt eller böjt längs en linje, vilket skapar styvhet i vinkelrät riktning. Detta är praktiskt användbart i konstruktion, såväl som i en vanlig pizza -ätningsstrategi: En platt skiva pizza kan ses som en yta med konstant Gaussisk krökning 0. Att försiktigt böja en skiva måste då ungefär bibehålla denna krökning (förutsatt att böjningen antas. är ungefär en lokal isometri). Om man böjer en skiva horisontellt längs en radie , skapas huvudkurvaturer som inte är noll längs kurvan, vilket dikterar att den andra huvudkrökningen vid dessa punkter måste vara noll. Detta skapar styvhet i riktningen vinkelrät mot vecket, ett attribut som är önskvärt för att äta pizza, eftersom den håller sin form tillräckligt länge för att kunna ätas utan att krångla. Samma princip används för förstärkning i wellpapp , mest välbekant wellpapp och galvaniserat järn , och i vissa former av potatischips .
Se även
- Andra grundformen
- Gaussisk krökning
- Differentiell geometri av ytor
- Carl Friedrich Gauss#Theorema Egregium
Anteckningar
- Gauss, CF (2005). Pesic, Peter (red.). Allmänna undersökningar av krökta ytor (Paperback ed.). Dover Publikationer . ISBN 0-486-44645-X .
- O'Neill, Barrett (1966). Elementär differentialgeometri . New York: Academic Press. s. 271–275.
- Stoker, JJ (1969). "De partiella differentialekvationerna för ytteorin". Differentialgeometri . New York: Wiley. s. 133–150. ISBN 0-471-82825-4 .