Symmetrisk nivå-index aritmetik

Level -index ( LI ) representation av tal, och dess algoritmer för aritmetiska operationer, introducerades av Charles Clenshaw och Frank Olver 1984.

Den symmetriska formen av LI-systemet och dess aritmetiska operationer presenterades av Clenshaw och Peter Turner 1987.

Michael Anuta, Daniel Lozier, Nicolas Schabanel och Turner utvecklade algoritmen för symmetrisk nivåindex ( SLI ) aritmetik, och en parallell implementering av den. Det har pågått ett omfattande arbete med att utveckla SLI aritmetiska algoritmer och utöka dem till komplexa och vektoraritmetiska operationer.

Definition

Tanken med nivåindexsystemet är att representera ett icke-negativt reellt tal $X$ som

X=e^{e^{e^{\cdots ^{e^{f}}}}}

där $0\leq f<1$ och exponentieringsprocessen utförs $ℓ$ gånger, med $\ell \geq 0$ . $ℓ$ och $f$ är nivån och indexet för $X$ respektive. $x = ℓ + f$ är LI-bilden av $X$ . Till exempel,

X=1234567=e^{e^{e^{0,9711308}}}

så dess LI-bild är

x=\ell +f=3+0,9711308=3,9711308.

Den symmetriska formen används för att tillåta negativa exponenter, om storleken på $X$ är mindre än 1. Man tar $sgn (log(X))$ eller $sgn(| X | - | X | -1)$ och lagrar det (efter att ha ersatt +1) för 0 för det reciproka tecknet eftersom för $X = 1 = e 0$ är LI-bilden $x = 1.0 och definierar$ $X =1$ unikt och vi kan göra oss av utan ett tredje tillstånd och bara använda en bit för de två tillstånden −1 och +1) som det reciproka tecknet $r X$ . Matematiskt motsvarar detta att ta den reciproka (multiplikativa inversen) av ett litet magnitudtal och sedan hitta SLI-bilden för den reciproka. Att använda en bit för det reciproka tecknet möjliggör representation av extremt små tal.

En teckenbit kan också användas för att tillåta negativa tal. Man tar sgn (X) och lagrar det (efter att +1 ersatts med 0 för tecknet eftersom för $X = 0$ är LI-bilden $x = 0,0$ och unikt definierar $X = 0$ och vi kan göra oss av utan ett tredje tillstånd och bara använda ett bit för de två tillstånden −1 och +1) som tecknet $s X$ . Matematiskt motsvarar detta att ta inversen (additiv invers) av ett negativt tal och sedan hitta SLI-bilden för inversen. Att använda en bit för tecknet möjliggör representation av negativa tal.

Mappningsfunktionen kallas den generaliserade logaritmfunktionen . Det definieras som

\psi (X)={\begin{cases}X&{\text{if }}0\leq X<1\\1+\psi (\ln X)&{\text{if }}X\geq 1\end{cases}}

och den mappar $[0,\infty )$ på sig själv monotont och så är den inverterbar på detta intervall. Inversen, den generaliserade exponentialfunktionen , definieras av

\varphi (x)={\begin{cases}x&{\text{if }}0\leq x <1\\e^{\varphi (x-1)}&{\text{if }}x\geq 1\end{cases}}

Tätheten av värden $X$ representerade av $x$ har inga diskontinuiteter när vi går från nivå $ℓ$ till $ℓ + 1$ (en mycket önskvärd egenskap) eftersom:

\left.{\frac {d\varphi (x)}{dx}}\right|_{x=1}=\left.{\frac {d\varphi (e^{x})}{ dx}}\right|_{x=0}.

Den generaliserade logaritmfunktionen är nära relaterad till den itererade logaritmen som används i datavetenskaplig analys av algoritmer.

Formellt kan vi definiera SLI-representationen för ett godtyckligt reellt $X$ (inte 0 eller 1) som

X=s_{X}\varphi (x)^{r_{X}}

där $s X$ är tecknet (additiv inversion eller inte) av $X$ och $r X$ är det reciproka tecknet (multiplikativ inversion eller inte) som i följande ekvationer:

s_{X}=\operatörsnamn {sgn}(X),\,r_{X}=\operatörsnamn {sgn}(|X|-|X|^{-1}),\,x= \psi (\max(|X|,|X|^{-1}))=\psi (|X|^{r_{X}})

medan för $X$ = 0 eller 1 har vi:

s_{0}=+1,r_{0}=+1,x=0,0,\,

s_{1}=+1,r_{1}=+1,x=1.0.\,

Till exempel,

X=-{\dfrac {1}{1234567}}=-e^{-e^{e^{0.9711308}}}

och dess SLI-representation är

x=-\varphi (3.9711308)^{-1}.

Se även

Vidare läsning

Clenshaw, Charles William; Olver, Frank William John ; Turner, Peter R. (1989). "Nivåindexaritmetik: En inledande undersökning". Numerisk analys och parallell bearbetning (Konferensförhandlingar / The Lancaster Numerical Analysis Summer School 1987). Föreläsningsanteckningar i matematik (LNM). 1397 : 95–168. doi : 10.1007/BFb0085718 .
Clenshaw, Charles William; Turner, Peter R. (1989-06-23) [1988-10-04]. "Root Squaring Using Level-Index Arithmetic". Beräkningar . Springer-Verlag . 43 (2): 171–185. ISSN 0010-485X .
Zehendner, Eberhard (sommaren 2008). "Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme" (PDF) (föreläsningsmanus) (på tyska). Friedrich-Schiller-Universität Jena . s. 21–22. Arkiverad (PDF) från originalet 2018-07-09 . Hämtad 2018-07-09 . [1]
Hayes, Brian (september–oktober 2009). "Den högre aritmetiken" . Amerikansk vetenskapsman . 97 (5): 364–368. doi : 10.1511/2009.80.364 . Arkiverad från originalet 2018-07-09 . Hämtad 2018-07-09 . [2] . Även omtryckt i: Hayes, Brian (2017). "Kapitel 8: Högre aritmetik". Idiotsäker och andra matematiska meditationer (1 upplaga). MIT Press . s. 113–126. ISBN 978-0-26203686-3 . ISBN 0-26203686-X .

externa länkar

sli-c-library (värd av Google Code), "C++ Implementation of Symmetric Level-Index Arithmetic" .