Superparabola

Superparabola funktioner

En superparabel är en geometrisk kurva definierad i det kartesiska koordinatsystemet som en uppsättning punkter (x, y) med

${\frac {y}{b}}=\lbrack 1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{ 2}\rbrack ^{p},$

där p , a och b är positiva heltal. Ekvationen definierar en öppen kurva i rektangeln −a ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b .

Superparabeln kan variera i form från en rektangulär funktion ( p = 0) , till en halvellips ( p = 1/2 . en ) , till parabel ( p = 1) , till en pulsfunktion ( p > 1)

Matematiska egenskaper

Superparabola: Bågens längd och area

Utan förlust av generalitet kan vi betrakta den kanoniska formen av superparabolen ( a = b = 1)

$f(x;p)=\left(1-x^{2}\right)^{p}$

När p > 0 beskriver funktionen en kontinuerlig differentierbar kurva på planet. Kurvan kan beskrivas parametriskt på det komplexa planet som

$z=\sin(u)+i\cos ^{2p}(u);\quad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq u\leq { \tfrac {\pi }{2}}$

Derivat av superparabolen ges av

$f'(x;p)=-2px(1-x^{2})^{p-1}$

${\frac {\partial f}{\partial p }}=(1-x^{2})^{p}\ln(1-x^{2})=f(x)\ln \lbrack f(x;1)\rbrack$

Arean under kurvan ges av

${\text{Area}}=\int _{- 1}^{1}\int _{0}^{f(x)}dydx=\int _{-1}^{1}(1-x^{2})^{p}dx=\psi ( p)$

där ψ är en global funktion giltig för alla p > −1 ,

$\psi (p)={\frac {{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (p+1)} {\Gamma (p+{\frac {3}{2}})}}$

Arean under en del av kurvan kräver den obestämda integralen

$\int (1-x^{2})^{p}dx=x\,{_{2}}F{_{1} }$$(1/2,-p;3/2;x^{2})$

där ${\textstyle _{2}F_{1}}$ är den Gaussiska hypergeometriska funktionen . En intressant egenskap är att vilken superparabel som helst som höjs till en potens $n$ bara är en annan superparabel; Således

$\int _{-1}^{1}f^{n}(x)=\psi (np)$

Tyngdpunkten för området under kurvan ges av

$C={\frac {\mathbf {i} } {A}}\int _{-1}^{1}x\int _{0}^{f(x)}dydx+{\frac {\mathbf {j} }{A}}\ \int _{- 1}^{1}\int _{0}^{f(x)}ydydx$

${\ displaystyle ={\frac {\mathbf {j} }{2A}}\int _{-1}^{1}f^{2}(x)dx=\mathbf {j} {\frac {\psi (2p )}{2\psi (p)}}}$

där $x$ -komponenten är noll på grund av symmetri. Således kan tyngdpunkten uttryckas som hälften av förhållandet mellan arean av kvadraten av kurvan och arean av kurvan.

Det n ^:te (matematiska) momentet ges av

$\mu _{=}\int _{-1}^{1} x^{n}f(x)dx={\begin{cases}M(p,n)&{\text{om n är jämnt}}\\0&{\text{om n är udda}}\end{ fall}}$

$M(p, n)={\frac {2}{n+1}}{\frac {\Gamma ((n+3)/2)\Gamma (p+1)}{\Gamma (p+(n+3)/2 )}}$

Kurvans båglängd ges av

${\text{Length}}=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}dx.$

I allmänhet kan integraler som innehåller ${\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}$ inte hittas i termer av matematiska standardfunktioner. Även numeriska lösningar kan vara problematiska för de felaktiga integraler som uppstår när $f'(x)$ är singular vid $x=\pm 1$ . Två exempel på exakta lösningar har hittats. För halvcirkeln $(p=1/2)$ , $L=\pi$ och parabeln $(p=1)$ , $L=\left({\sqrt {5}}+\sinh ^{-1}(2)/2\right)\ \ca {2,9579}$ .

Båglängden är $L=4$ för både $p=0{\text{and}}p=\infty$ och har ett lägsta värde på ${ \displaystyle L\sim 2.914}$ vid $p\sim 1.595$ . Ytan under kurvan minskar monotont med ökande $p$ .

Generalisering

En naturlig generalisering för superparabolen är att slappna av begränsningen för styrkan av x . Till exempel,

$f(x)=\left(1-\left\vert x\right\vert ^{q}\right)^{p}$

där det absoluta värdet adderades för att säkerställa symmetri med avseende på y-axeln. Kurvan kan också beskrivas parametriskt på det komplexa planet,

$z=\left\vert {\text{sin}}^{2/q}(u)\right\vert {\text{sgn}}(u)+ i{\text{cos}}^{2p}(u);\qquad -\pi /2\leq {u}\leq \pi /2$

Nu är det uppenbart att den generaliserade superparabeln innehåller superellipsen, dvs $p=1/q$ , och dess generalisering. Omvänt innehåller generaliseringen av superellipsen klart superparabolen. Här har vi dock den analytiska lösningen för området under kurvan.

De obestämda och bestämda integralerna ges av

$\int f(x)dx=x\cdot _{2}F_{ 1}(-p,1/q;1+1/q;x^{2})$

${\text{Area }}=\int _{-1}^{1}f(x)dx=\Psi (p,q)$

där $\Psi$ är en universell funktion giltig för alla $q$ och $p>-1$ .

$\Psi (p,q)={\frac {2\Gamma ({ \frac {q+1}{q}})\Gamma (p+1)}{\Gamma (p+{\frac {q+1}{q}})}}$

$) {\displaystyle \psi (p) }$ tyngdpunkten och momenten i kurvan som visas ovan genom att ersätta $\displaystyle \Psi (p,q)}$ för .

Historia

Superellipsen har identifierats sedan 1818 som en Lamé-kurva. Det verkar som om superparabolen först identifierades av Löffelmann och Gröller. i sin uppsats om superquadrics i samband med datorgrafik. Waldman och Gray använde superparabolen i sina analyser av den arkimedeiska hoven. "Cylinderhoven", "hoven" eller "ungula" formulerades först i ett brev från Arkimedes till Eratosthenes på 300-talet f.Kr. och ledde till de klassiska propositionerna 13 och 14 i Metoden . Detta brev som nu införlivats i Dijksterhuis är ett av de mest kända utbytet av idéer i matematikens historia.

Ansökningar

Superparabolen och dess generalisering har tillämpats på den arkimedeiska hoven. Kortfattat består den arkimedeiska hoven av en högercylinder med ett fotavtryck y = f ( x ) och höjd h som skärs av planet z = hy . På den första bilden kallas delen till höger för hoven och tas från den återstående halvcylindern och lämnar komplementet . Både hovens och komplementets basarea, volym och massacentrum kan beskrivas enbart i termer av universell funktion, Ψ och höjd.

3D-skrivarhuvud	3D-skrivarhuvud	3-D Printer Hoof Halvcylinder

Se även

• Superellips
• Superquadrics
• Superformel

Allmän

• Classic Study of Curves, GS Carr, Formulas and Theorems in PURE MATHEMATICS, 2nd ed., Chelsea Publishing Co., New York, 1970. Reprint av Carrs 1886-utgåva under titeln A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics, London och Cambridge .
• A. Bellos, Alex's Adventures in Numberland, Bloomsbury, Storbritannien, 2011.
• H. Boualem och R. Brouzet, To Be (a Circle) or Not to Be?, The College Mathematics Journal, 46 (3) maj, 2015, 197-206.
• P. Bourke, Supershapes (Superformula), http://paulbourke.net/geometry/supershape/ , mars 2002.
• G. Cardillo, Superformula Generator 2d (feb. 2006), Matlab File Exchange http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/10189-superformula-generator-2d .
• G. Cardillo, Superformula Generator 3d (feb. 2006), Matlab File Exchange http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/10190-superformula-generator-3d .
• J. Gielis, En generisk geometrisk transformation som förenar ett brett spektrum av naturliga och abstrakta former, American Journal of Botany 90 (3): 333–338, 2003.
• G. Lamé, Leçons sur les coordonnées curvilignes et leurs diverses applications, Paris, Mallet-Bachelier, 1859.
• P. Lynch, Sharing a Pint, ThatsMaths, 2012 http://thatsmaths.com/2012/12/13/sharing-a-pint .
• KB Oldham, J. Myland, J. Spanier, An Atlas of Functions, 2:a upplagan, Springer, 2010.
• EW Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2003.

externa länkar

• Arkimedesk hov
• Animation av Archimedean Hoof
• Superparabola
• Mer om parabeln
• http://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html Mer om Archimedes
• Arkimedes palimpsest
• Restaurering av Archimedes Palimpsest
• Kurvor
• Fler kurvor