Storlekseffekt på strukturell styrka

Rester av Malpasset-dammen i sjöalperna, Frankrike, som misslyckades vid sin första fyllning 1959 och orsakade en gigantisk översvämning som utplånade staden Frejus, med flera hundra dödsoffer. Denna fördämning, den högsta och smalaste på den tiden, misslyckades på grund av en överdriven horisontell glidning i gnejsstödet. Den tolerabla förskjutningen som beaktas vid design är inte känd, men om den beräknas idag skulle storlekseffekten minska den till ungefär hälften av värdet enligt designprocedurerna på 1950-talet.

Enligt de klassiska teorierna om elastiska eller plastiska strukturer gjorda av ett material med icke- slumpmässig styrka ( f _t ), är den nominella hållfastheten ( σ _N ) för en struktur oberoende av strukturstorleken ( D ) när geometriskt likartade strukturer beaktas. Varje avvikelse från denna egenskap kallas storlekseffekten . Till exempel förutspår konventionell hållfasthet hos material att en stor balk och en liten balk kommer att gå sönder vid samma spänning om de är gjorda av samma material. I den verkliga världen, på grund av storlekseffekter, kommer en större stråle att misslyckas vid en lägre påkänning än en mindre stråle.

Den strukturella storlekseffekten gäller strukturer gjorda av samma material, med samma mikrostruktur . Det måste särskiljas från storlekseffekten av materialinhomogeniteter, särskilt Hall-Petch-effekten , som beskriver hur materialstyrkan ökar med minskande kornstorlek i polykristallina metaller .

Storlekseffekten kan ha två orsaker:

1. statistisk, på grund av slumpmässig materialstyrka, sannolikheten för att ett kritiskt fel inträffar på en plats med hög stress, och ökande volym ökar sannolikheten för ett allvarligt fel.
2. energisk (och icke-statistisk), på grund av energiutsläpp när en stor spricka eller en stor sprickprocesszon (FPZ) som innehåller skadat material utvecklas innan den maximala belastningen uppnås.

Statistisk teori om storlekseffekt i sköra strukturer

figur 1

Den statistiska storlekseffekten uppstår för en bred klass av spröda strukturer som följer modellen med den svagaste länken. Denna modell innebär att makrofrakturinitiering från ett materialelement, eller mer exakt ett representativt volymelement (RVE), gör att hela strukturen misslyckas, som att en länk i en kedja misslyckas (Fig. 1a). Eftersom materialhållfastheten är slumpmässig, kommer hållfastheten hos det svagaste materialelementet i strukturen (Fig. 1a) sannolikt att minska med ökande strukturstorlek $D$ (som noterades redan av Mariotte 1684).

Betecknar felsannolikheterna för struktur som $P_{f}$$) {\displaystyle P_{1}( \sigma _{k})}$ för en RVE under stress $\sigma _{k}$ som , och noterar att överlevnadssannolikheten för en kedja är den gemensamma sannolikheten för överlevnad för alla dess $N$ länkar, drar man lätt slutsatsen att

$1-P_{f}=\prod _{k=1}^{N}[1-P_{1}( \sigma _{k})]$

 

 

 

 

()

Nyckeln är den vänstra svansen av fördelningen av $P_{1}(\sigma _{k})$ . Den identifierades inte framgångsrikt förrän Weibull 1939 insåg att svansen är en maktlag. Genom att beteckna svansexponenten som $m$ , kan man sedan visa att, om strukturen är tillräckligt större än en RVE (dvs. om N/l ₀ → ∞ ), felsannolikheten för en struktur som funktion av $\sigma _{N}$ är

$P_{f}\;=\;1\,-\, e^{-(\sigma _{N}/S_{0})^{m}}\ {\text{där}}\ S_{0}=s_{0}(l_{0}/D)^{ n_{d}/m}\Psi ^{-1/m}$

 

 

 

 

()

Ekv. 2 är den kumulativa Weibull-fördelningen med skalparameter $S_{0}$ och formparameter $m$ ; $\Psi =\int _{V}\left[{\hat {\sigma }}(\xi)\right]^{m }\,{\mbox{d}}V(\xi )$ = konstant faktor beroende på strukturens geometri, $V$ = strukturvolymen; $\xi$ = relativa (storleksoberoende) koordinatvektorer, ${\hat {\sigma }}(\xi )$ = dimensionslöst spänningsfält (beroende på geometri), skalat så att den maximala spänningen är 1; $n_{d}$ = antal rumsliga dimensioner ( $n_{d}$ = 1, 2 eller 3); $l_{0}$ = materialkarakteristisk längd som representerar den effektiva storleken på RVE (vanligtvis cirka 3 inhomogenitetsstorlekar).

RVE definieras här som den minsta materialvolym vars fel räcker för att få hela strukturen att gå sönder. Av erfarenhet är strukturen tillräckligt större än en RVE om det ekvivalenta antalet $N_{eq}$ av RVE:er i strukturen är större än cirka $10^{4}$ ; $N_{eq}=(D/l_{0})^{n_{d}}\Psi$ = antal RVE:er som ger samma $P_{f}$ om stressfältet är homogent (alltid ${\displaystyle N_{eq}<N} ,$ och vanligtvis $N_{eq}\ll N$ ). För de flesta applikationer i normal skala på metaller och finkornig keramik, förutom anordningar i mikrometerskala, är storleken tillräckligt stor för att Weibull-teorin ska gälla (men inte för grovkorniga material som betong).

Från Eq. 2 kan man visa att medelhållfastheten och hållfasthetens variationskoefficient erhålls enligt följande:

${\bar {\sigma }}_{N}\; =\;C_{s}(l_{0}/D)^{n/m},\;C_{s}\;=\;[\Gamma (1+m^{-1})\Psi ^{ -1/m}s_{0}$

 

 

 

 

()

$w\;=\;[\Gamma (1+2m^{-1}) \Gamma ^{-2}(1+m^{-1})-1]^{1/2}$

 

 

 

 

()

(där $\Gamma$ är gammafunktionen) Den första ekvationen visar att storlekseffekten på den nominella medelstyrkan är en potensfunktion av storleken $D$ , oavsett strukturens geometri.

Weibull-parametern $m$ kan experimentellt identifieras med två metoder: 1) Värdena för $\sigma _{N}$ uppmätta på många identiska prover används för att beräkna hållfasthetens variationskoefficient, och värdet av $m$ följer sedan genom att lösa ekv. (4); eller 2) värdena för ${\bar {\sigma }}_{N}$ mäts på geometriskt liknande exemplar av flera olika storlekar $D$ och lutningen för deras linjära regression i plot av $\log {\bar {\sigma }}_{N}$ kontra $\log D$ ger $-1/m$ . Metod 1 måste ge samma resultat för olika storlekar och metod 2 samma som metod 1. Om inte är storlekseffekten helt eller delvis icke-weibulliansk. Underlåtenhet att testa för olika storlekar har ofta lett till felaktiga slutsatser. En annan kontroll är att histogrammet för styrkorna hos många identiska prover måste vara en rak linje när de plottas i Weibull-skalan. En avvikelse åt höger vid höghållfasthetsområdet betyder att $N_{eq}$ är för liten och materialet kvasibröd.

Energisk storlekseffekt

Det faktum att Weibull-storlekseffekten är en potenslag innebär att den är sigjälvlik, dvs. ingen karakteristisk strukturstorlek $D_{0}$ existerar, och $l_{0}$ och materialinhomogeniteter är försumbar jämfört med $D$ . Detta är fallet för utmattningsspröda metaller eller finkornig keramik förutom på mikrometerskalan. Förekomsten av ett ändligt $D_{0}$ är ett framträdande inslag i den energetiska storlekseffekten som upptäcktes 1984. Denna typ av storlekseffekt representerar en övergång mellan två maktlagar och observeras i spröda heterogena material, kallade kvasibröda . Dessa material inkluderar betong, fiberkompositer, stenar, grovkornig och härdad keramik, styvt skum, havsis, dentalkeramik, dentin, ben, biologiska skal, många bio- och bioinspirerade material, murverk, murbruk, styva sammanhängande jordar, injekterad jord, konsoliderad snö, trä, papper, kartong, kol, cementerad sand, etc. På mikro- eller nanoskalan blir alla spröda material kvasibröda och måste därför uppvisa den energiska storlekseffekten.

En uttalad energetisk storlekseffekt uppstår vid skjuvnings-, vridnings- och stansbrott av armerad betong, vid utdragning av ankare från betong, vid kompressionsbrott av slanka armerade betongpelare och förspända betongbalkar, vid kompressions- och dragbrott hos fiber-polymerkompositer och sandwichkonstruktioner , och i misslyckandena hos alla de ovannämnda kvasibröda materialen. Man kan särskilja två grundläggande typer av denna storlekseffekt.

Typ 1: Strukturer som misslyckas vid sprickinitiering

Fig. 2

När makrosprickan initieras från en RVE vars storlek inte är försumbar jämfört med strukturstorleken, dominerar den deterministiska storlekseffekten över den statistiska storlekseffekten. Det som orsakar storlekseffekten är en spänningsomfördelning i strukturen (Fig. 2c) på grund av skador i den initierande RVE, som typiskt sett är belägen vid sprickytan.

En enkel intuitiv motivering av denna storlekseffekt kan ges genom att ta hänsyn till böjningsbrottet hos en balk utan skåror under en koncentrerad belastning $P$ vid mittspannet (fig. 2d). På grund av materialheterogenitet är det som avgör den maximala belastningen $P$ inte den elastiskt beräknade spänningen $\sigma _{1}=Mc/ I=3PL/2bD^{2}$$M=PL/4$ dragytan, där = böjmoment, $D$ = strålens djup, $c=D/2,\;I=bh^{3}/12$ och $b$ = strålbredd. Det som i stället avgör är spänningsvärdet ${\bar {\sigma }}$ ungefär på avstånd $l_{0}/2$ från dragytan, som är i mitten av FPZ (2c). Notera att ${\bar {\sigma }}$ = $\sigma _{1}-\sigma '_{n}l_{0}/2$ , där $\sigma '_{n}$ = spänningsgradient = $2\sigma _{1}/D$ och ${\ bar {\sigma }}=f'_{t}$ = materialets inneboende draghållfasthet och med tanke på brotttillståndet ${\bar {\sigma }}$ = $f' _{t}$ , man får $P/bD=\sigma _{N}$ = $\sigma _{0}/ (1-D_{b}/D)$ där ${\displaystyle \sigma _{0}=(2D/3L)f'_{t}} ,$ vilket är en konstant eftersom för geometriskt likartade strålar $L/D$ = konstant. Detta uttryck är endast giltigt för tillräckligt liten ${\displaystyle l_{0}/D} ,$ och så (enligt de två första termerna av binomial expansion) kan man approximera det som

$\sigma _{N}=\sigma _{0}\left(1+{\frac {rl_{0}}{D}}\right )^{1/r}$

 

 

 

 

()

vilket är lagen för typ 1 deterministisk storlekseffekt (fig. 2a). Syftet med den uppskattning som görs är: (a) att förhindra att $\sigma _{N}$ blir negativ för mycket liten ${\displaystyle D} ,$ för vilken det föregående argumentet inte gäller; och (b) för att uppfylla det asymptotiska villkoret att den deterministiska storlekseffekten måste försvinna för $D/l_{0}\to \infty$ . Här $r$ = positiv empirisk konstant; värdena $r=1$ = eller 2 har använts för betong, medan $r\approx 1,45$ är optimalt enligt existerande testdata från litteraturen (fig. 2d).

En fundamental härledning av ekv. 5 för en generell strukturell geometri har getts genom att tillämpa dimensionsanalys och asymptotisk matchning till gränsfallet för energifrigöring när den initiala makrospricklängden tenderar till noll. För allmänna strukturer kan följande effektiva storlek ersättas i ekv. (5):

$D=2\sigma _{0}/E\epsilon '_{n}$

 

 

 

 

()

där $\epsilon '_{n}$ = töjningsgradient vid den maximala töjningspunkten vid ytan, i riktning vinkelrätt mot ytan.

Ekv. 5 kan inte tillämpas för stora storlekar eftersom det närmar sig för $D\to \infty$ en horisontell asymptot. För stora storlekar $\sigma _{N}$ närma sig Weibulls statistiska storlekseffekt, ekv. 3. Detta villkor är uppfyllt av den generella lagen om energetisk-statistisk storlekseffekt:

${\bar {\sigma }}_{N}=\sigma _{0}\left[\left ({\frac {l_{0}}{D}}\right)^{rn_{d}/m}+\ {\frac {rl_{0}}{D}}\ \right]^{1/r }$

 

 

 

 

()

där $r,m$ är empiriska konstanter ( ${\displaystyle rn_{d}/m<1} )$ . Den deterministiska formeln (5) återvinns som gränsfall för $m\rightarrow \infty$ . (Fig. 2d) visar en jämförelse av den sista formeln med testresultaten för många olika betonger, ritade som dimensionslös hållfasthet $\sigma _{N}/f'_{t}$ kontra dimensionslös strukturstorlek $D/D_{0}$ .

Den probabilistiska teorin om typ 1-storlekseffekt kan härledas från frakturnanomekanik. Kramers teori för övergångshastighet visar att, på nanoskalan, är den yttersta vänstra svansen av sannolikhetsfördelningen av nanoskalans styrka s {\ $s}$ en potenslag av typen $s^{2}$ . Analys av multiskalövergången till materialmakroskalan visar sedan att RVE-styrkefördelningen är Gaussisk men med en Weibull (eller kraftlag) vänstersvans vars exponent m {\displaystyle m} är mycket större än 2 och är $ungefär$ vid sannolikheten för cirka 0,001.

För strukturer med ${\displaystyle N_{eq}<10^{4}} ,$ som är vanliga för kvasibrötta material, gäller inte Weibull-teorin. Men den underliggande modellen med den svagaste länken, uttryckt av Ekv. (1) för $P_{f}$ gör det, om än med ett ändligt $N$ , vilket är en avgörande punkt. Ändheten hos modellen med den svagaste länken orsakar stora avvikelser från Weibull-distributionen. När strukturstorleken, mätt med ${\displaystyle N_{eq}},$ ökar, flyttas ympningspunkten för Weibullians vänstra del till höger tills vid ungefär $N_{eq} =10^{4}$ , hela fördelningen blir Weibullian. Medelstyrkan kan beräknas från denna fördelning och, som det visar sig, är dess plot identisk med plotten av ekv. 5 sedd i fig. 2g. Punkten för avvikelse från Weibull-asymptoten bestäms av platsen för ympningspunkten på styrkafördelningen av en RVE (fig. 2g). Observera att kedjans ändlighet i modellen med den svagaste länken fångar den deterministiska delen av storlekseffekten.

Denna teori har också utvidgats till storlekseffekten på Evans och Paris lagar för spricktillväxt i kvasibröda material, och till storlekseffekten på livslängden för statisk elektricitet och utmattning. Det visade sig att storlekseffekten på livslängden är mycket starkare än den är på korttidsstyrkan (svansexponent $m$ är en storleksordning mindre).

Typ 2: Strukturer där det finns en stor spricka eller skåra

Fig. 4

Den starkaste möjliga storlekseffekten uppstår för exemplar med liknande djupa skåror (fig. 4b), eller för strukturer där en stor spricka, liknande för olika storlekar, bildas stabilt innan maximal belastning uppnås. Eftersom platsen för sprickinitiering är förutbestämd att inträffa vid sprickspetsen och därför inte kan ta prov på de slumpmässiga styrkorna hos olika RVE, är det statistiska bidraget till medelstorlekseffekten försumbart. Sådant beteende är typiskt för armerad betong, skadade fiberarmerade polymerer och vissa komprimerade oförstärkta strukturer.

Effekten av energetisk storlek kan förklaras intuitivt genom att betrakta panelen i Fig. 1c,d, initialt under en enhetlig spänning lika med $\sigma _{N}$ . Införande av en spricka med längd $a$ , med en skadezon med bredd $h$ vid spetsen, avlastar spänningen, och därmed även töjningsenergin, från de skuggade oskadade trianglarna med lutningen ${\ displaystyle k}$ på sprickans flanker. Sedan, om $k$ och $a/D$ är ungefär lika för olika storlekar, är energin som frigörs från de skuggade trianglarna proportionell mot ${\bar {U }}D^{2}$ , medan energin som försvinner av brottprocessen är proportionell mot $G_{f}D$ ; här $G_{f}$ = materialets brottenergi, ${\bar {U}}=\sigma _{N}^{2}/2E$ = energitäthet före fraktur, och $E$ = Youngs elasticitetsmodul. Avvikelsen mellan $D$ och $D^{2}$ visar att en balans mellan energiutsläpp och förlusthastighet kan existera för varje storlek $D$ endast om $\ sigma _{N}$ minskar med ökande $D$ . Om energin som försvinner inom skadezonen med bredden $h$ läggs till, erhåller man Bažant (1984) storlekseffektlag (typ 2):

$\sigma _{N}=Bf'_{t}\left(1+{\frac {D}{D_{0}} }\right)^{-1/2}$

 

 

 

 

()

(Fig. 4c,d) där $B,f'_{t},D_{0}$ = konstanter, där $f'_{t}$ = Materialets draghållfasthet, och $B$ står för strukturens geometri.

För mer komplexa geometrier är en sådan intuitiv härledning inte möjlig. Dimensionell analys i kombination med asymptotisk matchning visade emellertid att ekv. 8 är tillämplig i allmänhet och att dess parametrars beroende av strukturgeometrin har ungefär följande form:

$Bf'_{t}={\sqrt {\frac {EG_{f} }{g'(\alpha _{0})c_{f}}}},\;\;\;\;D_{0}=c_{f}{\frac {g'(\alpha _{0} )}{g(\alpha _{0})}}$

 

 

 

 

()

där $c_{f}\approx$ hälften av FPZ-längden, $\alpha _{0}=a/D$ = relativ initial spricklängd (som är konstant för geometriskt liknande skalning); $g(\alpha _{0})=k^{2}(\alpha _{0})$ = dimensionslös energifrigöringsfunktion för linjär elastisk frakturmekanik (LEFM) , som åstadkommer effekten av strukturgeometri; ${\displaystyle k(\alpha _{0})=K(\alpha _{0})b{\sqrt {D}}/P} ,$ och ${ \displaystyle K}$ = stressintensitetsfaktor. Fitting Eq. 8 till ${\displaystyle \sigma _{N}}-$ data från tester av geometriskt liknande skårade exemplar av mycket olika storlekar är ett bra sätt att identifiera $G_{f}$ och $c_ {f}$ av materialet.

Storlekseffekt i Cohesive Crack, Crack Band och icke-lokala modeller

Numeriska simuleringar av fel med finita elementkoder kan fånga den energetiska (eller deterministiska) storlekseffekten endast om materiallagen som relaterar spänningen till deformation har en karakteristisk längd. Detta var inte fallet för de klassiska finita elementkoderna med ett material som enbart kännetecknas av spännings-töjningsrelationer.

En enkel nog beräkningsmetod är den kohesiva (eller fiktiva) sprickmodellen, där det antas att spänningen $\sigma$ som överförs över en delvis öppnad spricka är en minskande funktion av spricköppningen $w$ , dvs $\sigma =f(w)$ . Området under denna funktion är $G_{f}$ , och

$l_{ch}=EG_{f}/{f'_{t}}^{2}$

 

 

 

 

()

är den materialkarakteristiska längden som ger upphov till den deterministiska storlekseffekten. En ännu enklare metod är sprickbandsmodellen, där den kohesiva sprickan i simuleringar ersätts av ett sprickband med bredd $h$ lika med en finit elementstorlek och en spänning-töjningsrelation som mjuknar i korset -bandriktning som $\sigma ={\hat {f}}(\epsilon )$ där $\epsilon =w/h$ = genomsnittlig töjning i det riktning.

När $h$ behöver justeras, justeras töjningsförhållandet för mjukgörande spänningar för att bibehålla den korrekta energiförlusten $G_{f}$ . En mer mångsidig metod är den icke-lokala skademodellen där spänningen vid en kontinuumpunkt inte är en funktion av töjningen vid den punkten utan av medelvärdet av töjningsfältet inom ett visst område av storleken h {\displaystyle h} $på$ det punkt. Ytterligare en annan metod är gradientskademodellen där spänningen inte bara beror på töjningen vid den punkten utan också på töjningsgradienten. Alla dessa beräkningsmetoder kan säkerställa objektivitet och korrekt konvergens med avseende på förfining av det finita elementnätet.

Fractalaspekter av storlekseffekt

Materialets fraktala egenskaper, inklusive den fraktala aspekten av sprickytans grovhet och den lakunära fraktala aspekten av porstrukturen, kan ha en roll i storlekseffekten i betong och kan påverka materialets brottenergi. De fraktala egenskaperna har dock ännu inte experimentellt dokumenterats för en tillräckligt bred skala och problemet har ännu inte studerats på djupet jämförbart med de statistiska och energetiska storlekseffekterna. Det största hindret för det praktiska övervägandet av en fraktal påverkan på storlekseffekten är att det, om det kalibreras för en strukturgeometri, inte är klart hur man kan sluta sig till storlekseffekten för en annan geometri. För- och nackdelarna diskuterades t.ex. av Carpinteri et al. (1994, 2001) och Bažant och Yavari (2005).

Praktisk betydelse

Fig. 5 Schematisk förklaring av fel på Sleipner A Oil Platform, Norge 1991. Tricellen i denna 500 miljoner dollar, 190 meter långa struktur imploderade under vattenhöjden på 67 meter, vilket fick plattformen att sjunka inom 18 minuter (inga dödsfall). En regeringskommission identifierade två faktorer som orsakar fel: dålig detaljering av armeringen och dålig finita elementnät. En separat undersökning dokumenterade en tredje bidragande faktor: storlekseffekten i det visade skjuvbrottet, vilket minskade skjuvkapaciteten med cirka 40 %.

Att ta hänsyn till storlekseffekten är avgörande för säker förutsägelse av hållfastheten hos stora betongbroar, kärnkraftsinneslutningar, takskal, höga byggnader, tunnelbeklädnader, stora lastbärande delar av flygplan, rymdfarkoster och fartyg gjorda av fiber-polymerkompositer, vindkraftverk , stora geotekniska utgrävningar, jord- och bergsluttningar, flytande havsis som bär laster, oljeplattformar under iskrafter, etc. Deras utformning beror på materialegenskaperna uppmätta på mycket mindre laboratorieexemplar. Dessa egenskaper måste extrapoleras till storlekar större med en eller två storleksordningar. Även om ett dyrt fullskaligt felprov, till exempel ett felprov av rodret på ett mycket stort flygplan, kan genomföras, är det ekonomiskt oöverkomligt att upprepa det tusen gånger för att få den statistiska fördelningen av lastkapacitet. Sådan statistisk information, som ligger till grund för säkerhetsfaktorerna, kan endast erhållas genom korrekt extrapolering av laboratorietester.

Storlekseffekten blir allt viktigare i takt med att allt större konstruktioner, av allt slankare former, byggs. Säkerhetsfaktorerna ger givetvis stora säkerhetsmarginaler — så stora att även för de största anläggningskonstruktionerna den klassiska deterministiska analysen baserad på medelmaterialegenskaperna normalt ger brottlaster mindre än de maximala dimensionerande lasterna. Av detta skäl har storlekseffekten på styrkan i spröda brott i betongkonstruktioner och strukturella laminat länge ignorerats. Då kan emellertid felsannolikheten, som måste vara ${\displaystyle <10^{-6}} ,$ och faktiskt har sådana värden för normalstora strukturer, bli så låg för mycket stora strukturer som $10^{-3}$ per livstid. En sådan hög sannolikhet för misslyckanden är outhärdlig eftersom den avsevärt ökar de risker som människor oundvikligen utsätts för. Faktum är att den historiska erfarenheten visar att mycket stora strukturer har misslyckats med en frekvens som är flera storleksordningar högre än mindre. Anledningen till att det inte har lett till folkstorm är att de stora strukturerna är få. Men för lokalbefolkningen, som måste använda strukturerna dagligen, är risken inte acceptabel.

En annan tillämpning är testning av sprickenergi och karakteristisk materiallängd. För kvasibröda material är det enklaste sättet att mäta storlekseffekten på toppbelastningarna (och på att provet mjuknar efter toppbelastningen).

Att känna till storlekseffekten är också viktigt i omvänd mening - för enheter i mikrometerskala om de är konstruerade helt eller delvis på basis av materialegenskaper som mäts mer bekvämt på skalan från 0,01 m till 0,1 m.

Se även

• Teori om materialfel
• Strukturellt misslyckande
• Frakturmekanik
• Betongbrottanalys
• Trötthet (material)
• Betongkonfel

Referenser och bibliografi

1. Barenblatt, GI (1959). "Bildandet av jämviktssprickor under spröd fraktur. Allmänna idéer och hypoteser, axiellt symmetriska sprickor." Prikl. Matta. Mekh. 23 (3), 434—444.
2. Barenblatt, GI (1996). Skalning, självlikhet och mellanliggande asymptotik . Cambridge University Press.
3. Barenblatt, GI (1978). Likhet, självlikhet och mellanliggande asymptotik (på ryska) Girometeoizdat, Moskva; och engelsk översättning, Consultants Bureau, New York 1979.
4. Barenblatt, GI (2003) Scaling , Cambridge University Press.
5. Bažant, ZP (1976). "Instabilitet, duktilitet och storlekseffekt i töjningsmjukande betong." J. Engng. Mech. Div., Am. Soc. Civilingenjörer. 102 , EM2, 331-344 ; skiva. 103, 357—358, 775—777, 104, 501—502.
6. Bažant, ZP (1984). "Storlekseffekt vid trubbig fraktur: Betong, sten, metall." J. av Engng. Mekanik , ASCE, 110 , 518—535.
7. Bažant, ZP (1997a). "Skalning av kvasibröd fraktur: Asymptotisk analys." Int. J. av Fraktur 83 (1), 19—40.
8. Bažant, ZP (2002). "Skalning av strukturell styrka." 2:a upplagan, Elsevier, London 2005.
9. Bažant, ZP, och Chen, E.-P. (1997). "Skalning av strukturella fel." Applied Mechanics Recensioner ASME 50 (10), 593—627.
10. Bažant, ZP och Kazemi, MT (1990). "Bestämning av sprickenergi, processzonslängd och sprödhetstal från storlekseffekt, med applicering på berg och betong." Int. J. av Fraktur , 44, 111—131.
11. Bažant, ZP och Novák, D. (2000). "Energetisk-statistisk storlekseffekt vid kvasibröd fel vid sprickinitiering." ACI Materials Journal 97 (3), 381—392.
12. Bažant, ZP och Planas, J. (1998). Fraktur- och storlekseffekt i betong och andra kvasibröda material . CRC Press, Boca Raton, Florida.
13. Bažant, ZP, och Yavari, A. (2005). "Är orsaken till storlekseffekt på strukturell styrka fraktal eller energetisk-statistisk?" Engrg. Frakturmekanik 72, 1--31; med diskussion och svar i vol. 74 (2007), sid. 2897.
14. Bažant, ZP (2004) "Skalningsteori om kvaisbrött strukturellt misslyckande." Proc. Nat'l. Acad. Sci., USA 101 (37), 13397-13399.
15. Bažant, ZP, Daniel, IM och Li, Z. (1996). "Storlekseffekt och brottegenskaper hos kompositlaminat." J. av Engrg. Material och teknik ASME 118 (3), 317—324.
16. Bažant, ZP och Jirásek, M. (2002). "Icke-lokala integrerade formuleringar av plasticitet och skada: Översikt över framsteg." J. Engrg Mech., ASCE , 128(11), 1119-1149.
17. Bažant, ZP och Le, J.-L. (2009)"Nanomekanikbaserad modellering av livstidsfördelning av kvasibröda strukturer", J. Engrg. Misslyckande Ana. , 16, sid. 2521-2529
18. Bažant, ZP, Le, J.-L. och Bazant, MZ (2009). "Skalning av styrka och livstidsfördelningar av kvasibröda strukturer baserat på atomistisk sprickmekanik." Proc. National Acad. of Sciences USA 11484-11489
19. Bažant, ZP, och Pang, S.-D. (2006) "Mekanikbaserad statistik över felrisk för kvasibröda strukturer och storlekseffekt på säkerhetsfaktorer." Proc. Nat'l Acad. Sci., USA 103 (25), s. 9434–9439.
20. Bažant, ZP, och Pang, S.-D. (2007) "Aktiveringsenergibaserad extremvärdesstatistik och storlekseffekt vid spröd och kvasibröd fraktur." J. Mech. Phys. Solids 55, s. 91–134.
21. Bažant, ZP, Vořechovský, M. och Novak, D. (2007) "Asymptotisk förutsägelse av energetisk-statistisk storlekseffekt från deterministiska finita elementlösningar." J. Engrg. Mech , ASCE, 128, 153-162.
22. Bažant, ZP och Xi, Y. (1991) "Statistisk storlekseffekt i kvasi-spröda strukturer: II. Nonlocal theory." J. Engrg. Mech., ASCE 117(7), 2623-2640.
23. Bažant, ZP, Zhou, Y., Daniel, IM, Caner, FC och Yu, Q. (2006). "Storlekseffekt på hållfasthet hos sandwichplattor av laminatskum", J. of Engrg. Material och teknik ASME 128 (3), 366—374.
24. Beremin, FM (1983). "Ett lokalt kriterium för klyvningsbrott i ett kärntryckkärlstål." Metallurgiaffärer A , 14, 2277—2287.
25. Bouchaud, E. (1997). "Skalningsegenskaper hos sprickor." J. Phys.: Kondens. ärende 9, 4319—4344.
26. Carpinteri, A. (1994). "Skalningslagar och renormaliseringsgrupper för styrka och seghet hos oordnade material." Int. J. of Solids and Structures 31 (3), 291—302.
27. Carpinteri, A., Chiaia, B. och Cornetti, P. (2001). "Statisk-kinematisk dualitet och principen om virtuellt arbete i mekaniken för fraktala medier." Comp. Meth. i Appl. Mech. och Engrg. 19, 3--19.
28. Coleman, BD (1958) "Statistik och tidsberoende av mekanisk nedbrytning i fibrer." J. Appl. Phys. 29 (6), s. 968–983.
29. da Vinci, L. (1500-talet) ---se The Notebooks of Leonardo da Vinci (1945), Edward McCurdy, London (s. 546); och Les Manuscrits de Léonard de Vinci, övers. på franska av C. Ravaisson-Mollien, Institut de France (1881–91), Vol. 3.
30. Fisher, RA och Tippett, LHC (1928). "Begränsande former av frekvensfördelningen av den största och minsta medlemmen av ett prov." Proc., Cambridge Philosophical Society 24 , 180—190.
31. Fréchet, M. (1927). "Sur la loi de probabilité de l' écart maximum." Ann. Soc. Polon. Matematik. 6, sid. 93.
32. Freudenthal, AM och Gumbell, EJ (1956). "Fysiska och statistiska aspekter av trötthet." i Advances in Applied Mechanics , vol. 4, Academic Press, 117—157.
33. Grassl, P. och Ba žant, ZP (2009). "Slumpmässig gitter-partikelsimulering av statistisk storlekseffekt i kvasi-spröda strukturer som misslyckas vid sprickinitiering." J. av Engrg. Mech. ASCE 135 (2), febr., 85—92.
34. Gumbel, EJ (1958). Statistik över extremer . Columbia University Press, New York.
35. Harlow, DG och Phoenix, SL (1978) "The Chain-of-Bundles Probability Model for the Strength of Fibrous Materials I: Analysis and Conjectures." J. Comp. Mater. 12: 195-214
36. Harlow, DG och Phoenix, SL (1979) "Gräser sannolikheten för misslyckande av kompositmaterial." Int. J. Frac. 15(4), 312-336
37. Hillerborg A. (1985). "Den teoretiska grunden för en metod för att bestämma sprickenergin $G_{f}$ i betong." Material och konstruktioner 18 (106), 291—296.
38. Hillerborg, A., Modéer, M. och Petersson, PE (1976). "Analyse av sprickbildning och spricktillväxt i betong med hjälp av sprickmekanik och finita element." Cement- och betongforskning 6 773—782.
39. Le, J.-L., och Bažant, ZP (2009) "Finite weakest link model with noll tröskel för styrkefördelning av dental restaurerande keramik", Dent. Mater. , 25, nr 5, 2009, s 641–648
40. Le, J.-L. och Bažant, ZP (2011). "Enad nano-mekanik baserad probabilistisk teori om kvasibrötta och spröda strukturer". J. av Mech. och Phys. of Solids , under press.
41. Mahesh, S. och Phoenix, SL (2004) "Livstidsfördelningar för enkelriktade fibrösa kompositer under krypbrottbelastning." Int. J. Fract. 127, s. 303–360.
42. Mariotte, E. (1686). Traité du mouvement des eaux , postumt redigerad av M. de la Hire; Engl. transl. av JT Desvaguliers, London (1718), sid. 249; även Mariottes samlade verk , 2:a uppl., Haag (1740).
43. Mihashi, H., Okamura, H. och Bažant, ZP, Editors (1994). Storlekseffekt i betongkonstruktioner (Proc., Japan Concrete Institute Intern. Workshop som hölls i Sendai, Japan, 31 okt.–2 nov. 1993). E & FN Spon, London-New York, 556 + xiv sidor).
44. Phoenix, SL (1978a) "Stochastisk styrka och utmattning av fiberbuntar." Int. J. Frac. Vol. 14, nr 3, 327-344.
45. Phoenix, SL (1978b) "Den asymptotiska tiden till fel i ett mekaniskt system av parallella element." SIAM J. Appl. Matte. Vol. 34, nr 2, 227-246.
46. Phoenix, SL och Tierney, L.-J. (1983) "En statistisk modell för det tidsberoende felet hos enkelriktade kompositmaterial under lokal elastisk belastningsdelning mellan fibrer." Engrg. Frakt. Mech. 18 (1), s. 193–215.
47. Phoenix, SL, Ibnabdeljalil, M., Hui, C.-Y. (1997). "Storlekseffekter i fördelningen för styrka hos spröda matrisfibrösa kompositer." Int. J. Solids Struct. 34(5), 545-568.
48. Pijaaudier-Cabot, G. och Bažant, ZP (1987). "Icke-lokal skadeteori." J. av Engrg. Mekanik , ASCE 113 (10), 1512—1533.
49. RILEM-kommittén TC-QFS (2004). "Kvasibröd frakturskalning och storlekseffekt --- Slutrapport." Material och strukturer (Paris) 37 (nr 272), 547—586.
50. Utvalda papper av Alfred M. Freudenthal (1981). Am. Soc. of Civil Engr., New York.
51. Smith, RL (1982) "Den asymptotiska fördelningen av styrkan hos ett serieparallellt system med lika belastningsfördelning." Ann Probab. 10(1), s. 137 – 171.
52. Tierney, L.-J. (1983) "Asymptotiska gränser för tiden till utmattningsbrott för buntar av fibrer under lokal belastningsdelning." Adv. Appl. Prob. Vol 14, nr 1, sid 95–121.
53. Weibull, W. (1939). "Fenomenet bristning i fasta ämnen." Proc., Kungliga Institutet för ingenjörsforskning (Ingenioersvetenskaps Akad. Handl.) 153 , Stockholm, 1--55.
54. Weibull, W. (1949). "En statistisk representation av utmattningsfel i fasta ämnen." Proc., Roy. Inst. av Techn. Nr 27 .
55. Weibull, W. (1951). "En statistisk fördelningsfunktion med bred tillämplighet." J. of Applied Mechanics ASME , vol. 18 .
56. Weibull, W. (1956). "Grundläggande aspekter av trötthet." Proc., Colloquium on Fatigue , Stockholm, Springer—Verlag.
57. Xu, XF (2007) "En flerskalig stokastisk finita elementmetod för elliptiska problem som involverar osäkerheter." Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 196, s. 2723–2736.
58. Zhurkov, SN (1965). "Kinetisk koncept för styrkan hos fasta ämnen." Int. J. Fract. Mech. 1 (4), sid. 311-323.
59. Stepanov, IA (1995). "Skaleffekten är en konsekvens av den cellulära strukturen hos solida kroppar. Termofluktuationsnaturen hos spridningen i styrkavärdena." Materialvetenskap 31 (4), s 441–447.

externa länkar

• Media relaterade till storlekseffekt på strukturell styrka på Wikimedia Commons