Stjärna (spelteori)

I kombinatorisk spelteori är stjärnan , skriven som $*$ eller $*1$ , det värde som ges till spelet där båda spelarna endast har möjlighet att gå till nollspelet . Stjärna kan också betecknas som den surrealistiska formen {0|0} . Detta spel är en ovillkorlig vinst för första spelare.

Star, enligt definitionen av John Conway i Winning Ways for your Mathematical Plays , är ett värde, men inte ett tal i traditionell mening. Stjärnan är inte noll, men varken positiv eller negativ , och sägs därför vara suddig och förväxlad med (ett fjärde alternativ som betyder varken "mindre än", "lika med" eller "större än") 0. Det är mindre än alla positiva rationella tal , och större än alla negativa rationaler.

Andra spel än {0 | 0} kan ha värdet *. Till exempel har spelet $*2+*3$ , där värdena är nimbers , värde * trots att varje spelare har fler alternativ än att bara flytta till 0.

Varför * ≠ 0

0 Ett kombinatoriskt spel har en positiv och negativ spelare; vilken spelare som flyttar först lämnas tvetydigt. Det kombinatoriska spelet , eller { | } , lämnar inga alternativ och är en andraspelares vinst. På samma sätt vinner ett kombinatoriskt spel (förutsatt optimalt spel) av den andra spelaren om och endast om dess värde är 0. Därför är ett spel med värde *, vilket är en vinst för första spelare, varken positivt eller negativt. * är dock inte det enda möjliga värdet för ett vinstspel för första spelare (se nimbers ).

Star har egenskapen att summan * + *, har värdet 0, eftersom den första spelarens enda drag är till spelet *, som den andra spelaren vinner.

Exempel på ett värde-* spel

Nim , med en hög och en bit, har värde *. Den första spelaren tar bort pjäsen och den andra spelaren kommer att förlora. Ett Nim-spel med en hög med en hög med n pjäser (även en vinst för första spelare) definieras till att ha värdet *n . Siffrorna *z för heltal z bildar ett oändligt fält med egenskap 2, när addition definieras i sammanhanget av kombinatoriska spel och multiplikation ges en mer komplex definition.

Se även

Conway, JH , On Numbers and Games , Academic Press Inc. (London) Ltd., 1976