Disjunktiv summa

I matematiken för kombinatoriska spel är summan eller disjunktiv summan av två spel ett spel där de två spelen spelas parallellt, där varje spelare tillåts röra sig i bara ett av spelen per tur . Summespelet avslutas när det inte finns några drag kvar i något av de två parallella spelen, vid vilken tidpunkt (i normalt spel ) vinner den sista spelaren som flyttar. Denna operation kan utökas till disjunktiva summor av valfritt antal spel, återigen genom att spela spelen parallellt och flytta i exakt ett av spelen per tur. Det är den grundläggande operationen som används i Sprague-Grundy-satsen för opartiska spel och som ledde till området kombinatorisk spelteori för partisanspel .

Applikation på vanliga spel

Disjunktiva summor uppstår i spel som naturligt delas upp i komponenter eller regioner som inte samverkar förutom att varje spelare i sin tur måste välja bara en komponent att spela i. Exempel på sådana spel är Go , Nim , Sprouts , Domineering , the Game of the Game Amazoner och kartfärgningsspelen .

I sådana spel kan varje komponent analyseras separat för förenklingar som inte påverkar dess resultat eller resultatet av dess disjunktiva summa med andra spel. När denna analys har utförts kan komponenterna kombineras genom att ta den disjunktiva summan av två spel åt gången, kombinera dem till ett enda spel med samma resultat som det ursprungliga spelet.

Matematik

Summan operationen formaliserades av Conway (1976) . Det är en kommutativ och associativ operation : om två spel kombineras blir resultatet detsamma oavsett vilken ordning de kombineras, och om fler än två spel kombineras blir resultatet detsamma oavsett hur de är grupperade.

Negationen − G för ett spel G (spelet som bildas genom att byta rollerna för de två spelarna) bildar en additiv invers under disjunktiva summor: spelet G + − G är ett nollspel (vinns av den som kommer tvåa) med ett enkelt eko strategi där den andra spelaren upprepade gånger kopierar den första spelarens drag i det andra spelet. För två valfria spel G och H har spelet H + G + − G samma resultat som H självt (även om det kan ha en större uppsättning tillgängliga drag).

Baserat på dessa egenskaper kan klassen av kombinatoriska spel anses ha strukturen av en abelisk grupp , fastän med en riktig klass av element snarare än (som är mer standard för grupper) en uppsättning element. För en viktig underklass av spelen som kallas de surrealistiska talen , finns det en multiplikationsoperator som utökar denna grupp till ett fält .

För opartiska misère- spel kan en analog teori om summor utvecklas, men med färre av dessa egenskaper: dessa spel bildar en kommutativ monoid med endast ett icke-trivialt inverterbart element, kallat stjärna ( * ), av ordning två.

• Conway, John Horton (1976), On Numbers and Games , Academic Press .