Större sil

I talteorin är den större sikten en sikt som uppfanns av Patrick X. Gallagher . Namnet betecknar en förhöjning av den stora sållen . Kombinatoriska siktar som Selbergsilen är starkast, när endast ett fåtal restklasser tas bort, medan termen storsil innebär att denna sikt kan dra fördel av att ett stort antal av upp till hälften av alla restklasser tas bort. Den större sikten kan utnyttja raderingen av ett godtyckligt antal klasser.

Påstående

Antag att ${\mathcal {S}}$ är en uppsättning primpotenser, N ett heltal, ${\mathcal {A}}$ en uppsättning heltal i intervallet [1, N ], så att det för $q\in {\mathcal {S}}$ finns högst $g(q)$ restklasser modulo $q$ , som innehåller element av ${\mathcal {A}}$ .

Då har vi

$|{\mathcal {A}} |\leq {\frac {\summa _{q\in {\mathcal {S}}}\Lambda (q)-\log N}{\sum _{q\in {\mathcal {S}}}{\frac {\Lambda (q)}{ g(q)}}-\log N}},$

förutsatt att nämnaren till höger är positiv.

Ansökningar

En typisk applikation är följande resultat, för vilket den stora sikten misslyckas (speciellt för $\theta >{\frac {1}{2}}$ ), på grund av Gallagher:

 Antalet heltal $n\leq N$ , så att ordningen för $n$ modulo $p$ är $\leq N^{\theta }$ för alla primtal  är $p\leq N^{\theta +\epsilon }$${\mathcal {O}}(N^{\theta })$ . 

Om antalet uteslutna restklasser modulo $p$ varierar med $p$ , så kombineras ofta den större sikten med den stora sikten. Den större sikten appliceras med uppsättningen ${\mathcal {S}}$ ovan definierad som den uppsättning primtal för vilka många restklasser tas bort, medan den stora sikten används för att erhålla information med hjälp av primtal utanför ${\mathcal {S}}$ .

Anteckningar

• Gallagher, Patrick (1971). "En större sil" . Acta Arithmetica . 18 : 77–81. doi : 10.4064/aa-18-1-77-81 .
• Croot, Ernie ; Elsholtz, Christian (2004). "På varianter av den större silen" . Acta Mathematica Hungarica . 103 (3): 243–254. doi : 10.1023/B:AMHU.0000028411.04500.e2 .