Selberg såll

Atle Selberg

I talteorin är Selberg -sikten en teknik för att uppskatta storleken på "siktade uppsättningar" av positiva heltal som uppfyller en uppsättning villkor som uttrycks av kongruenser . Den utvecklades av Atle Selberg på 1940-talet.

Beskrivning

När det gäller siktteori är Selberg-sikten av kombinatorisk typ : det vill säga härrör från en noggrann användning av inkluderings-exkluderingsprincipen . Selberg ersatte värdena för Möbius-funktionen som uppstår i detta med ett system av vikter som sedan optimeras för att passa det givna problemet. Resultatet ger en övre gräns för storleken på det siktade setet.

Låt $A$ vara en uppsättning positiva heltal $\leq x$ och låt $P$ vara en uppsättning primtal. Låt $A_{d}$ beteckna uppsättningen av element i $A$ delbart med $d$ när $d$ är en produkt av distinkta primtal från $P$ . Låt vidare $A_{1}$ beteckna själva ${\displaystyle A} .$ Låt $z$ vara ett positivt reellt tal och $P(z)$ betecknar produkten av primtal i $P$ som är $\leq z$ . Syftet med sikten är att uppskatta

$S(A,P,z)=\left\vert A\setminus \bigcup _{p\mid P(z)}A_{p}\right\vert .$

Vi antar att | A _d | kan uppskattas av

$\left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {1}{f(d)}}X+R_{d}.$

där f är en multiplikativ funktion och X = | A |. Låt funktionen g erhållas från f genom Möbius-inversion , det vill säga

$g(n)=\summa _{d\mid n}\mu (d)f(n/d)$

$f(n)=\summa _{d\mid n}g(d)$

där μ är Möbius-funktionen . Sätta

$V(z)=\summa _{\begin{smallmatrix}d<z\\d\mid P(z)\end{smallmatrix}}{\frac {1}{g(d)}}.$

Sedan

$S (A,P,z)\leq {\frac {X}{V(z)}}+O\left({\summa _{\begin{smallmatrix}d_{1},d_{2}<z\\ d_{1},d_{2}\mid P(z)\end{smallmatrix}}\left\vert R_{[d_{1},d_{2}]}\right\vert }\right)$

där $[d_{1},d_{2}]$ anger den minsta gemensamma multipeln av $d_{1}$ och $d_{2}$ . Det är ofta användbart att uppskatta $V(z)$ med gränsen

$V(z)\geq \sum _{d\leq z}{\frac {1}{f(d)}}.\,$

Ansökningar

• Brun -Titchmarsh-satsen om antalet primtal i aritmetisk progression ;
• Antalet n ≤ x så att n är coprime till φ( n ) är asymptotiskt till e ^−γ x / log log log ( x ) .

•    Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram (2005). En introduktion till siktmetoder och deras tillämpningar . London Mathematical Society Studenttexter. Vol. 66. Cambridge University Press. s. 113–134. ISBN 0-521-61275-6 . Zbl 1121.11063 .
•    Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini (2008). En högre dimensionell siktmetod: med procedurer för beräkning av siktfunktioner . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 177. Med William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89487-6 . Zbl 1207.11099 .
•    Greaves, George (2001). Silar i talteorin . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 43. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-41647-1 . Zbl 1003.11044 .
•    Halberstam, Heini ; Richert, HE (1974). Siktmetoder . London Mathematical Society Monografier. Vol. 4. Akademisk press. ISBN 0-12-318250-6 . Zbl 0298.10026 .
•    Hooley, Christopher (1976). Tillämpningar av siktmetoder på talteorin . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 70. Cambridge University Press. s. 7–12. ISBN 0-521-20915-3 . Zbl 0327.10044 .
•    Selberg, Atle (1947). "Om en elementär metod i teorin om primtal". Norske Vid. Selsk. För H. Trondheim . 19 : 64–67. ISSN 0368-6302 . Zbl 0041.01903 .