Spherium

" Sfärium "-modellen består av två elektroner fångade på ytan av en sfär med radien $R$ . Det har använts av Berry och medarbetare för att förstå både svagt och starkt korrelerade system och för att föreslå en "alternerande" version av Hunds regel . Seidl studerar detta system i samband med densitetsfunktionella teorin (DFT) för att utveckla nya korrelationsfunktioner inom den adiabatiska anslutningen.

Definition och lösning

Den elektroniska Hamiltonian i atomenheter är

${\hat {H}}=-{\frac {\nabla _{1}^{2}}{2}}-{\ frac {\nabla _{2}^{2}}{2}}+{\frac {1}{u}}$

där $u$ är det interelektroniska avståndet. För singlett S-tillstånden kan det sedan visas att vågfunktionen S $\displaystyle S(u)}$ uppfyller Schrödinger-ekvationen

${ \displaystyle \left({\frac {u^{2}}{4R^{2}}}-1\right){\frac {d^{2}S(u)}{du^{2}}} +\left({\frac {3u}{4R^{2}}}-{\frac {1}{u}}\right){\frac {dS(u)}{du}}+{\frac { 1}{u}}S(u)=ES(u)}$

Genom att introducera den dimensionslösa variabeln $x=u/2R$ , blir detta en Heun-ekvation med singulära punkter vid $x=-1,0,+1$ . Baserat på de kända lösningarna av Heun-ekvationen söker vi vågfunktioner av formen

$S(u)=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\,u^{k}$

och substitution i föregående ekvation ger upprepningsrelationen

$s_{k+2}={\frac {s_{k+ 1}+\vänster[k(k+2){\frac {1}{4R^{2}}}-E\right]s_{k}}{(k+2)^{2}}}$

med startvärdena $s_{0}=s_{1}=1$ . Således är Kato cusp-tillståndet

${\frac {S'(0)}{S(0)}}=1$ .

Vågfunktionen reduceras till polynomet

$S_{n,m}(u)=\summa _{k=0}^{n}s_{k}\,u^{ k}$

(där $m$ antalet rötter mellan $0$ och $2R$ ) om, och endast om, $s_{n+ 1}=s_{n+2}=0$ . Således är energin $E_{n,m}$ en rot av polynomekvationen $s_{n+1}=0$ (där ${\displaystyle \deg s_{n+1}=\lfloor (n+1)/2\rfloor } )$ och motsvarande radie $R_{n, m}$ hittas från föregående ekvation som ger

$R_{n,m}^{2}E_{n,m}={\frac {n}{2}}\left ({\frac {n}{2}}+1\höger)$

$S_{n,m}(u)$${\ displaystil R_{n,m}}$ den exakta vågfunktionen för $m$ -te exciterade tillståndet för singel S-symmetri för radien .

Vi vet från Loos och Gills arbete att HF-energin för det lägsta singlett-S-tillståndet är $E_{\rm {HF}}=1/R$ . Det följer att den exakta korrelationsenergin för $R={\sqrt {3}}/2$ är $E_{\rm {corr}}=1-2/{\sqrt {3}}\approx -0,1547$ vilket är mycket större än de begränsande korrelationsenergierna för de heliumliknande jonerna ( ${\displaystyle -0,0467})$ eller Hookes atomer ( $-0,0497$ ). Detta bekräftar uppfattningen att elektronkorrelation på ytan av en sfär skiljer sig kvalitativt från den i tredimensionella fysiska rymden.

Spherium på en 3-sfär

Loos och Gill betraktade fallet med två elektroner begränsade till en 3-sfär som avvisar Coulombically. De rapporterar en grundtillståndsenergi på ( ${\displaystyle -.0476} )$ .

Se även

• Lista över kvantmekaniska system med analytiska lösningar

Vidare läsning

•    Loos, P.-F.; Gill, PMW (2009), "Two electrons on a hypersphere: a quasiexactly solvable model", Physical Review Letters , 103 (12): 123008, arXiv : 1002.3400 , Bibcode : 2009PhRvL.08letts 1.03l /1.03l/1.03l 103.123008 , PMID 19792435 , S2CID 11611242