Spektral korrelationstäthet

Den spektrala korrelationsdensiteten (SCD), ibland även kallad den cykliska spektraltätheten eller spektralkorrelationsfunktionen , är en funktion som beskriver den tvärspektrala tätheten för alla par av frekvensskiftade versioner av en tidsserie. Den spektrala korrelationsdensiteten gäller endast för cyklostationära processer eftersom stationära processer inte uppvisar spektral korrelation. Spektral korrelation har använts både vid signaldetektering och signalklassificering . Den spektrala korrelationstätheten är nära relaterad till var och en av de bilinjära tids-frekvensfördelningarna , men anses inte vara en av Cohens klass av distributioner.

Definition

Den cykliska autokorrelationsfunktionen för en tidsserie ${\textstyle x(t)}$ beräknas enligt följande:

$$R_{x}^{\alpha }(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \alpha t}\,dt$$

där (*) anger komplex konjugation. Enligt Wiener-Khinchin-satsen [tveksam, diskutera] är den spektrala korrelationstätheten då:

$$S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty } ^{\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau$$

Uppskattningsmetoder

SCD-uppskattning av vanliga kommunikationssignaler

SCD uppskattas i den digitala domänen med en godtycklig upplösning i frekvens och tid. Det finns flera uppskattningsmetoder som för närvarande används i praktiken för att effektivt uppskatta den spektrala korrelationen för användning i realtidsanalys av signaler på grund av dess höga beräkningskomplexitet. Några av de mer populära är FFT Accumulation Method (FAM) och Strip-Spectral Correlation Algorithm. En algoritm för snabb spektralkorrelation (FSC) har nyligen introducerats.

FFT-ackumuleringsmetod (FAM)

Det här avsnittet beskriver stegen för att beräkna SCD på datorer. Om du använder MATLAB eller NumPy -biblioteket i Python är stegen ganska enkla att implementera. FFT - ackumulationsmetoden (FAM) är en digital metod för att beräkna SCD. Dess indata är ett stort block av IQ-sampler, och utmatningen är en komplext värderad bild, SCD.

Låt signalen, eller blocket av IQ-sampel, $x$ vara en komplext värderad tensor , eller flerdimensionell matris, med form $(N,)$ , där varje element är ett IQ-sampel. Det första steget i FAM är att bryta $x$ i en matris av ramar av storlek $N'$ med överlappning.

$X={\begin{bmatrix}x[0:N']\\x[L:L+N']\\x[2L:2L+N']\\x[3L:3L+ N']\\.\\.\\.\end{bmatrix}},$

där $L$ är separationen mellan fönsterbörjan. Överlappning uppnås när $L<N'$ . $X$ är en tensor av form $(P,N')$ , och $P$ beror på hur många bildrutor som fick plats i $x$ .

Därefter tillämpas en fönsterfunktion $a(N')$ med form ${\displaystyle (N',)} , som Hamming-fönstret, på varje rad i$$X$ .

$X'={\begin{bmatrix}a(N')\\a(N')\\a(N')\\.\\.\\.\\\end{bmatrix }}\ibland X,$

där $\otimes$ är elementvis multiplikation. Därefter tas FFT på varje rad i $X'$

$W={\begin{bmatrix}FFT(X[0,:])\\FFT(X[1,:])\\FFT(X[2,:])\\.\\.\\ .\\\end{bmatrix}}.$

$W$ är allmänt känt som vattenfallsdiagrammet eller spektrogram . Nästa steg i FAM är att fasen ska korrigeras från fördröjning av de FFTed ramarna.

$W'={\begin{bmatrix}W[0,:]\\e^{j\omega L}\otimes W[1,:]\\e^{j\omega 2L}\otimes W[2,:]\\e^{j\omega 3L}\otimes W[3,:]\\.\\.\\.\\\end{bmatrix}},$

där $\omega$ är en tensor av form $(N',)$ som motsvarar varje digital frekvens i FFT:erna

$\omega ={\bigg [}-\pi ,...,\pi -{\frac {2\pi }{N'}}{\bigg ]}.$

Därefter autokorreleras FFT:erna för att skapa en tensor $S$ av form $(P,N',N')$ .

$S[i,j,k]=W'[i,j]W'[i,k ]^{*},$

där $^{*}$ anger komplext konjugat. Med andra ord, om vi låter $) {\displaystyle (1, N')}$$\displaystyle W_{i}=W'[i,:]}$ vara en formmatris , kan vi skriva om $S$ som

$S[i,:,:]=W_{i}^{H}W_{i},$

där H betecknar Hermitian (konjugerat och transponera) av en matris. Nästa steg är att ta FFT för $S$ längs den första axeln.

$S'[:,i,j]=FFT(S[:,i,j]).$

$S'$ är hela SCD, men i form av en 3-dimensionell tensor. Det vi siktar på är en 2-dimensionell tensor $s$ (en matris eller bild) av form $(PN',N')$ där varje post motsvarar en viss frekvens $f$ och cyklisk frekvens $\alpha$ . Alla värden för $\alpha$ i $S'$ kan ordnas i tensorn $A$ , och alla värden för $f$ i $S'$ i tensorn $F$ . Här, $f\in [-.5,+.5)$ och $\alpha \in [-1, +1)$ är normaliserade frekvenser.

$F[i,j,k]={\frac {j+k}{2N'}}-.5.$

$A[i,j,k]={\frac {jk}{N'}}+{\bigg (}i-{\frac {P}{2}}{\bigg )}\Delta \alpha .$

där $\Delta \alpha =1/N$ . Nu kan SCD-bilden $s$ arrangeras i form av en matris med nollor där det inte finns några värden för ett visst ( $\displaystyle (f,\alpha )}-$ par i ${\ displaystyle S'}$ , och poster från $S'$ där det är giltigt enligt $A$ och $F$ .

Uppskattning av SCD genom att hoppa över den andra FFT

Den fullständiga SCD är en ganska stor och beräkningsmässigt komplex, mestadels på grund av den andra omgången av FFT. Lyckligtvis kan från $S'$ en uppskattning $s'$ för SCD beräknas som

$s'={\frac {1}{P}}\sum _{i=0}^{P-1}S'[i,:,:].$

För ännu mindre beräkningskomplexitet kan vi beräkna $s'$ som

$s'={\frac {1}{P}}\sum _{i=0}^{P-1} Si,:,:],$

eftersom medelvärdet av alla värden i ett FFT-fönster före eller efter en FFT är ekvivalenta. Observera att $s'$ kommer att se ut som en 45 graders roterad version av den sanna SCD:n $s$ .

Vidare läsning

•   Napolitano, Antonio (2012-12-07). Generaliseringar av cyklostationär signalbehandling: spektralanalys och tillämpningar . John Wiley & Sons. ISBN 9781118437919 .
•   Pace, Phillip E. (2004-01-01). Upptäcka och klassificera låg sannolikhet för avlyssningsradar . Artech House. ISBN 9781580533225 .