Tvetydighetsfunktion

I pulserad radar och ekolodssignalbehandling är en tvetydighetsfunktion en tvådimensionell funktion av utbredningsfördröjning $\tau$ och dopplerfrekvens ${\displaystyle f} ,$ χ $\displaystyle \chi (\ tau ,f)}$ . Den representerar distorsionen av en returnerad puls på grund av det mottagaranpassade filtret (vanligtvis, men inte uteslutande, som används i pulskompressionsradar ) av returen från ett rörligt mål. Tvetydighetsfunktionen definieras av egenskaperna hos pulsen och filtret, och inte något speciellt målscenario.

Många definitioner av tvetydighetsfunktionen finns; vissa är begränsade till smalbandiga signaler och andra är lämpliga för att beskriva fördröjningen och dopplerförhållandet för bredbandssignaler. Ofta ges definitionen av tvetydighetsfunktionen som storleken i kvadrat av andra definitioner (Weiss). För en given komplex basbandspuls $s(t)$ ges den smalbandiga tvetydighetsfunktionen av

\chi (\tau ,f)=\int _{-\infty } ^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi ft}\,dt

där $^{*}$ anger det komplexa konjugatet och $i$ är den imaginära enheten . Observera att för noll Doppler-skift ( $f=0$ ), reduceras detta till autokorrelationen av s $\displaystyle s(t)}$ . Ett mer kortfattat sätt att representera tvetydighetsfunktionen består av att undersöka de endimensionella nollfördröjningen och noll-Doppler-"snitten"; det vill säga $\chi (0,f)$ respektive $\chi (\tau ,0)$ . Den matchade filterutgången som en funktion av tiden (signalen man skulle observera i ett radarsystem) är en dopplerskärning, med den konstanta frekvensen som ges av målets dopplerskifte: χ ( τ , f D $\ tau ,f_{D})}$ .

Bakgrund och motivation

Puls-Doppler radarutrustning sänder ut en serie radiofrekvenspulser . Varje puls har en viss form (vågform) – hur lång pulsen är, vad har den för frekvens, om frekvensen ändras under pulsen och så vidare. Om vågorna reflekteras från ett enda föremål kommer detektorn att se en signal som i det enklaste fallet är en kopia av den ursprungliga pulsen men fördröjd med en viss tid τ {\displaystyle \tau } —relaterad till objektets $—$ och skiftad med en viss frekvens $f$ —relaterad till objektets hastighet ( Dopplerskifte) . Om den ursprungliga emitterade pulsvågformen är $s(t)$ kommer den detekterade signalen (som försummar brus, dämpning och distorsion och bredbandskorrektioner) att vara:

s_{\tau ,f}(t)\equiv s(t-\tau )e^{i2\pi ft}.

Den detekterade signalen kommer aldrig att vara exakt lika med någon $s_{\tau ,f}$ på grund av brus. Icke desto mindre, om den detekterade signalen har en hög korrelation med $s_{\tau ,f}$ , för en viss fördröjning och dopplerskifte $(\tau ,f)$ , då tyder det på att det finns ett objekt med $(\tau ,f)$ . Tyvärr kan denna procedur ge falska positiva värden , dvs. felaktiga värden $(\tau ',f')$ som ändå är starkt korrelerade med den detekterade signalen. I denna mening kan den detekterade signalen vara tvetydig .

Tvetydigheten uppstår specifikt när det finns en hög korrelation mellan $s_{\tau ,f}$ och $s_{\tau ',f'}$ för $(\tau ,f)\neq (\tau ',f')$ . Detta motiverar tvetydighetsfunktionen $\chi$ . Den definierande egenskapen för $\chi$ är att korrelationen mellan $s_{\tau ,f}$ och $s_{\tau ',f'}$ är lika med $\chi (\tau -\tau ',ff')$ .

Olika pulsformer (vågformer) $s(t)$ har olika ambiguity-funktioner, och ambiguity-funktionen är relevant när man väljer vilken puls som ska användas.

Funktionen $\chi$ är komplext värderad; graden av "tvetydighet" är relaterad till dess storlek $|\chi (\tau ,f)|^{2}$ .

Förhållande till tids-frekvensfördelningar

Tvetydighetsfunktionen spelar en nyckelroll inom området för tids-frekvenssignalbehandling , eftersom den är relaterad till Wigner-Ville-fördelningen genom en 2-dimensionell Fourier-transform . Detta förhållande är grundläggande för formuleringen av andra tids-frekvensfördelningar : de bilinjära tids-frekvensfördelningarna erhålls genom en 2-dimensionell filtrering i tvetydighetsdomänen (det vill säga signalens tvetydighetsfunktion). Denna distributionsklass kan vara bättre anpassad till de övervägda signalerna.

Dessutom kan tvetydighetsfördelningen ses som den korta Fouriertransformen av en signal som använder själva signalen som fönsterfunktion. Denna anmärkning har använts för att definiera en tvetydighetsfördelning över tidsskaldomänen istället för tidsfrekvensdomänen.

Bredbands-ambiguity-funktion

Den bredbandiga tvetydighetsfunktionen för $s\in L^{2}(R)$ är:

WB_{ss}(\tau ,\alpha )={\sqrt {|{\alpha }|}}\int _ {-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(\alpha (t-\tau ))\,dt

där ${\alpha }$ är en tidsskalfaktor för den mottagna signalen i förhållande till den sända signalen som ges av:

\alpha ={\frac {c+v}{cv}}

för ett mål som rör sig med konstant radiell hastighet v . Reflexionen av signalen representeras med komprimering (eller expansion) i tid av faktorn $\alpha$ , vilket motsvarar en komprimering med faktorn $\alpha ^{-1}$ i frekvensdomänen (med en amplitudskalning). När våghastigheten i mediet är tillräckligt snabbare än målhastigheten, vilket är vanligt med radar, är denna kompression i frekvens nära approximerad av ett skift i frekvensen Δf = f _c *v/c (känd som dopplerskiftet ) . För en smalbandig signal resulterar denna approximation i den smalbandiga tvetydighetsfunktionen som ges ovan, som kan beräknas effektivt genom att använda FFT -algoritmen.

Idealisk tvetydighetsfunktion

En tvetydighetsfunktion av intresse är en 2-dimensionell Dirac deltafunktion eller "häftstift"-funktion; det vill säga en funktion som är oändlig vid (0,0) och noll någon annanstans.

\chi (\tau ,f)=\delta (\tau )\delta (f)\,

En tvetydighetsfunktion av detta slag skulle vara något av en felaktig benämning; det skulle inte ha några tvetydigheter alls, och både noll-fördröjningen och noll-Doppler-skärningarna skulle vara en impuls . Detta är vanligtvis inte önskvärt (om ett mål har någon dopplerförskjutning från en okänd hastighet kommer det att försvinna från radarbilden), men om dopplerbearbetning utförs oberoende, tillåter kunskap om den exakta dopplerfrekvensen avstånd utan störningar från andra mål som är inte också röra sig med exakt samma hastighet.

Denna typ av tvetydighetsfunktion produceras av idealiskt vitt brus (oändlig i varaktighet och oändlig i bandbredd). Detta skulle dock kräva oändlig kraft och är inte fysiskt realiserbart. Det finns ingen puls $s(t)$ som kommer att producera $\delta (\tau )\delta (f)$ från definitionen av tvetydighetsfunktionen. Approximationer finns emellertid och brusliknande signaler såsom binära fasförskjutningsnycklade vågformer som använder maximala längdsekvenser är de mest kända utförarna i detta avseende.

Egenskaper

(1) Maximalt värde

|\chi (\tau ,f)|^{2}\leq |\chi (0,0)|^{2}

(2) Symmetri om ursprunget

\chi (\tau ,f)=\exp[j2\pi \tau f]\chi ^ {*}(-\tau ,-f)\,

(3) Volyminvarians

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{2}\,d \tau \,df=|\chi (0,0)|^{2}=E^{2}

(4) Modulering med en linjär FM-signal

{\text{Om }}s(t)\högerpil |\chi (\tau ,f)|{\text{ sedan }}s(t)\exp[j\pi kt^{2}]{ \rightarrow }|\chi (\tau ,f+k\tau )|\,

(5) Frekvensenergispektrum

S(f)S^{*}(f)=\int _{-\ infty }^{\infty }\chi (\tau ,0)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau

(6) Övre gränser för $p>2$ och nedre gränser för $p<2$ finns för $p^{th}$ potensintegraler

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{p}\, d\tau \,df

.

Dessa gränser är skarpa och uppnås om och endast om $s(t)$ är en Gaussisk funktion.

Fyrkantig puls

Tvetydighetsfunktion för en fyrkantspuls

Betrakta en enkel kvadratisk puls med varaktigheten $\tau$ och amplitud $A$ :

A(u(t)-u(t-\tau ))\,

där $u(t)$ är Heaviside-stegfunktionen . Den matchade filterutgången ges av autokorrelationen av pulsen, som är en triangulär puls med höjden $\tau ^{2}A^{2}$ och varaktigheten $2\tau$ (noll-Doppler-snittet). Men om den uppmätta pulsen har en frekvensförskjutning på grund av Dopplerskifte, förvrängs den matchade filterutgången till en sinc-funktion . Ju större dopplerförskjutning, desto mindre är toppen av den resulterande sinc, och desto svårare är det att upptäcka målet. ^{[ citat behövs ]}

I allmänhet är fyrkantspulsen inte en önskvärd vågform ur en pulskompressionssynpunkt, eftersom autokorrelationsfunktionen är för kort i amplitud, vilket gör det svårt att upptäcka mål i brus och för bred i tiden, vilket gör det svårt att urskilja flera överlappande mål .

LFM puls

Tvetydighetsfunktion för en LFM-puls

En vanlig radar- eller ekolodspuls är den linjära frekvensmodulerade (LFM) pulsen (eller "chirp"). Den har fördelen av större bandbredd samtidigt som den håller pulslängden kort och enveloppen konstant. En konstant envelopp LFM-puls har en tvetydighetsfunktion som liknar den för kvadratpulsen, förutom att den är skev i fördröjnings-Doppler-planet. Lätt Doppler-felanpassning för LFM-pulsen ändrar inte den allmänna formen på pulsen och minskar amplituden mycket lite, men de verkar förskjuta pulsen i tid. Således ändrar en okompenserad dopplerförskjutning målets skenbara avstånd; detta fenomen kallas range-Doppler-koppling.

Multistatiska tvetydighetsfunktioner

Tvetydighetsfunktionen kan utökas till multistatiska radarer, som innefattar flera icke-samlokaliserade sändare och/eller mottagare (och kan inkludera bistatisk radar som ett specialfall).

För dessa typer av radar gäller inte längre det enkla linjära sambandet mellan tid och räckvidd som finns i det monostatiska fallet, utan är istället beroende av den specifika geometrin – alltså den relativa placeringen av sändare(r), mottagare(r) och mål. Därför är den multistatiska tvetydighetsfunktionen mestadels användbar definierad som en funktion av två- eller tredimensionella positions- och hastighetsvektorer för en given multistatisk geometri och sänd vågform.

Precis som den monostatiska tvetydighetsfunktionen är naturligt härledd från det matchade filtret, härleds den multistatiska tvetydighetsfunktionen från den motsvarande optimala multistatiska detektorn – dvs den som maximerar sannolikheten för detektering givet en fast sannolikhet för falsklarm genom gemensam bearbetning av signalerna överhuvudtaget mottagare. Arten av denna detektionsalgoritm beror på huruvida målfluktuationerna som observeras av varje bistatiskt par inom det multistatiska systemet är ömsesidigt korrelerade eller inte. Om så är fallet utför den optimala detektorn faskoherent summering av mottagna signaler, vilket kan resultera i mycket hög målpositionsnoggrannhet. Om inte, utför den optimala detektorn inkoherent summering av mottagna signaler vilket ger diversitetsförstärkning. Sådana system beskrivs ibland som MIMO-radarer på grund av de informationsteoretiska likheterna med MIMO- kommunikationssystem.

Tvetydighet funktionsplan

Ett tvetydighetsfunktionsplan kan ses som en kombination av ett oändligt antal radiella linjer.

Varje radiell linje kan ses som bråkdelen av Fouriertransformen av en stationär slumpmässig process.

Exempel

Tvetydighetsfunktion

Ambiguity-funktionen (AF) är de operatorer som är relaterade till WDF .

A_{x}(\tau ,n)= \int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^ {-j2\pi tn}dt

(1)Om $x(t)=exp[-\alpha \pi {(t-t_{ 0})^{2}}+j2\pi f_{0}t]$

A_{x}(\tau ,n)

=\int _{-\infty } ^{\infty }e^{-\alpha \pi (t+\tau /2-t_{0})^{2}+j2\pi f_{0}(t+\tau /2)}+e^{- \alpha \pi (t-\tau /2-t_{0})^{2}-j2\pi f_{0}(t-\tau /2)}e^{-j2\pi tn}dt

=\int _{-\infty }^ {\infty }e^{-\alpha \pi [2(t-t_{0})^{2}+\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{ -j2\pi tn}dt

=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi [2t^{2}-\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{-j2\pi tn}e^{-j2\pi t_{0}n}dt

A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha }}}exp [-\pi ({\frac {\alpha \tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha }})]exp[j2\pi (f_{0 }\tau -t_{0}n)]

Wdf Tvetydighet funktionsplan

WDF och AF för signalen med endast 1 term

(2) Om $x(t)=exp[-\alpha _{1}\pi (t-t_{1})^{2}+j2\pi f_{1}t]+exp[ -\alpha _{2}\pi (t-t_{2})^{2}+j2\pi f_{2}t]$

A_{x}(\tau ,n)

=\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+\tau /2)x_{1}^{*}(t-\tau /2)e^ {-j2\pi tn}dt

+

\int _{- \infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt

+

\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}( t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt

+

\int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{1}^{* }(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt

A_{x}(\tau ,n)=A_{x1}(\tau ,n)+A_{x2}(\tau , n)+A_{x1x2}(\tau ,n)+A_{x2x1}(\tau ,n)

A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\ alpha _{1}}}}exp[-\pi ({\frac {\alpha _{1}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha _{1}}})]exp[j2\pi (f_{1}\tau -t_{1}n)]

A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1 }{2\alpha _{2}}}}exp[-\pi ({\frac {\alpha _{2}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}} {2\alpha _{1}}})]exp[j2\pi (f_{2}\tau -t_{2}n)]

När $\alpha _{1}=\alpha _{2}$

A_{x1x2}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{u}}} }exp[-\pi (\alpha _{u}{\frac {(\tau -t_{d})^{2}}{2}}+{\frac {(n-f_{d})^{ 2}}{2\alpha _{u}}})]exp[j2\pi (f_{u}\tau -t_{u}n+f_{d}t_{u})]

var

$t_{u}=(t_{1}+t_{2}/2)$ ,
$f_{u}=(f_{1}+f_{2})/2$ ,
$\alpha _{u}=(\alpha _{1}+\alpha _{2})/2$ ,
$t_{d}=t_{1}+t_{2}$ ,
$f_{d}=f_{1}-f_{2}$ ,
$\alpha _{d}=\alpha _{1}-\alpha _{2}$
$A_{x2x1}(\tau ,n)=A_{x1x2}^{*}(-\tau ,-n)$