Cyklostationär process

En cyklostationär process är en signal med statistiska egenskaper som varierar cykliskt med tiden. En cyklostationär process kan ses som flera interfolierade stationära processer . Till exempel kan den maximala dygnstemperaturen i New York City modelleras som en cyklostationär process: den maximala temperaturen den 21 juli skiljer sig statistiskt från temperaturen den 20 december; det är dock en rimlig uppskattning att temperaturen den 20 december olika år har identisk statistik. Således kan vi se den slumpmässiga processen som består av dagliga maximala temperaturer som 365 interfolierade stationära processer, som var och en får ett nytt värde en gång per år.

Definition

Det finns två olika tillvägagångssätt för behandling av cyklostationära processer. Det stokastiska tillvägagångssättet är att se mätningar som en instans av en abstrakt stokastisk processmodell . Som ett alternativ är det mer empiriska tillvägagångssättet att se mätningarna som en enda tidsserie av data - det som faktiskt har mätts i praktiken och, för vissa delar av teorin, konceptuellt utsträckt från ett observerat ändligt tidsintervall till ett oändligt intervall . Båda matematiska modellerna leder till sannolikhetsteorier: abstrakt stokastisk sannolikhet för den stokastiska processmodellen och den mer empiriska Fraction Of Time (FOT) sannolikheten för den alternativa modellen. FOT-sannolikheten för någon händelse associerad med tidsserien definieras som den del av tiden som händelsen inträffar under tidsseriens livstid. I båda tillvägagångssätten sägs processen eller tidsserien vara cyklostationär om och endast om dess associerade sannolikhetsfördelningar varierar periodiskt med tiden. Men i den icke-stokastiska tidsseriemetoden finns det en alternativ men ekvivalent definition: En tidsserie som inte innehåller några additiva sinusvågskomponenter med finit styrka sägs uppvisa cyklostationaritet om och endast om det finns någon icke-linjär tidsinvariant transformation av tidsserien som producerar additiva sinusvågskomponenter med ändlig styrka (ej noll).

Vid cyklostationaritet

Ett viktigt specialfall av cyklostationära signaler är ett som uppvisar cyklostationaritet i andra ordningens statistik (t.ex. autokorrelationsfunktionen ) . Dessa kallas bredsens cyklostationära signaler och är analoga med breda stationära processer. Den exakta definitionen skiljer sig åt beroende på om signalen behandlas som en stokastisk process eller som en deterministisk tidsserie.

Cyklostationär stokastisk process

En stokastisk process $x(t)$ av medelvärde $\operatorname {E} [x(t)]$ och autokorrelationsfunktion:

$R_{x}(t,\tau )=\operatörsnamn {E} \{x(t+\tau )x^{*}(t)\},\,$

där stjärnan betecknar komplex konjugation sägs vara cyklostationär med bred bemärkelse med period $T_{0}$ om både $\operatorname {E} [x(t)]$ och $R_{x}(t,\tau )$ är cykliska i $t$ med period $T_{0},$ dvs:

$\operatörsnamn {E} [x(t)]=\operatörsnamn {E} [x(t+T_{0 })]{\text{ för alla }}t$

$R_{x}(t,\tau )=R_{x}(t+T_{0};\tau ){\text{ för alla }}t,\tau .$

Autokorrelationsfunktionen är alltså periodisk i t och kan utökas i Fourier-serier :

$R_{x}(t,\tau )=\summa _{n=- \infty }^{\infty }R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}$

där $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ kallas cyklisk autokorrelationsfunktion och är lika med:

$R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{ 0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.$

Frekvenserna $n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,$ kallas cykelfrekvenser .

Bredförsedda stationära processer är ett specialfall av cyklostationära processer med endast $R_{x}^{0}(\tau )\neq 0$ .

Cyklostationär tidsserie

En signal som bara är en funktion av tiden och inte en sampelväg av en stokastisk process kan uppvisa cyklostationaritetsegenskaper inom ramen för tidsbråkdelen . På så sätt kan den cykliska autokorrelationsfunktionen definieras av:

${\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\ int _{-T/2}^{T/2}x(t+\tau )x^{*}(t)e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t} \mathrm {d} t.$

Om tidsserien är en provväg för en stokastisk process är den $R_{x}^{n/T_{ 0}}(\tau )=\operatörsnamn {E} \left[{\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )\right]$ . Om signalen är ytterligare cykloergod, uppvisar alla sampelvägar samma cykliska tidsmedelvärden med sannolikhet lika med 1 och därmed ${\displaystyle R_{x}^ {n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )} med sannolikhet 1$ .

Frekvensdomänens beteende

Fouriertransformen av den cykliska autokorrelationsfunktionen vid cyklisk frekvens α kallas cykliskt spektrum eller spektralkorrelationsdensitetsfunktion och är lika med:

$S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\mathrm {d} \tau .$

Det cykliska spektrumet vid noll cyklisk frekvens kallas också medeleffektspektraltäthet . För en Gaussisk cyklostationär process kan dess hastighetsdistorsionsfunktion uttryckas i termer av dess cykliska spektrum.

Anledningen till att $S_{x}^{\alpha }(f)$ kallas den spektrala korrelationsdensitetsfunktionen är att den är lika med gränsen, när filterbandbredden närmar sig noll, för det förväntade värdet av produkten av utsignalen från ett ensidigt bandpassfilter med mittfrekvens $f+\alpha /2$ och konjugatet av utsignalen från ett annat ensidigt bandpassfilter med mittfrekvens ${ \displaystyle f-\alpha /2}$ , med båda filterutgångarnas frekvens förskjuten till en gemensam mittfrekvens, såsom noll, som ursprungligen observerats och bevisats i.

För tidsserier är anledningen till att den cykliska spektraldensitetsfunktionen kallas den spektrala korrelationsdensitetsfunktionen att den är lika med gränsen, när filterbandbredden närmar sig noll, för genomsnittet över hela tiden av produkten av utsignalen från ett ensidigt bandpassfilter med mittfrekvens $f+\alpha /2$ och konjugatet av utsignalen från ett annat ensidigt bandpassfilter med mittfrekvens $f-\alpha /2$ , med båda filterutgångarnas frekvens skiftade till en gemensam mittfrekvens, såsom noll, som ursprungligen observerats och bevisats i.

Exempel: linjärt modulerad digital signal

Ett exempel på cyklostationär signal är den linjärt modulerade digitala signalen :

$x(t)=\summa _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}p(t -kT_{0})$

där $a_{k}\in \mathbb {C}$ är iid slumpvariabler. Vågformen $p(t)$ , med Fouriertransform $P(f)$ , är moduleringens stödpuls.

Genom att anta $\operatörsnamn {E} [a_{k}]=0$ och ${\displaystyle \operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}} , autokorrelationsfunktionen är$ :

${\begin{aligned}R_{x}(t,\tau )&=\operatörsnamn {E} [x(t+\tau )x^{*}(t)]\\[6pt]&=\ summa _{k,n}\operatörsnamn {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0}) \\[6pt]&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end {Justerat}}$

Den sista summeringen är en periodisk summering , därav en signal periodisk i t . På detta sätt $x(t)$ en cyklostationär signal med period $T_{0}$ och cyklisk autokorrelationsfunktion:

${\begin{aligned}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0} /2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\,\mathrm {d } t\\[6pt]&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}\sigma _{a}^ {2}\summa _{k=-\infty }^{\infty }p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi { \frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\ summa _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-T_{0}/2-kT_{0}}^{T_{0}/2-kT_{0}}p(\lambda + \tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}(\lambda +kT_{0})}\mathrm {d} \lambda \ \[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(\lambda +\tau )p ^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\ sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}p(\tau )*\left\{p^{*}(-\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{ T_{0}}}\tau }\right\}.\end{aligned}}$

med $*$ som indikerar faltning . Det cykliska spektrumet är:

$S_{x}^{n/T_{0}}(f)={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}P(f)P^{* }\left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\höger).$

Typiska förhöjda cosinuspulser som används i digital kommunikation har således endast $n=-1,0,1$ icke-noll cykliska frekvenser.

Samma resultat kan erhållas för den icke-stokastiska tidsseriemodellen av linjärt modulerade digitala signaler där förväntan ersätts med oändligt tidsmedelvärde, men detta kräver en något modifierad matematisk metod som ursprungligen observerats och bevisats i.

Cykelstationära modeller

Det är möjligt att generalisera klassen av autoregressiva glidande medelvärden för att inkludera cyklostationärt beteende. Till exempel behandlade Troutman autoregressioner där autoregressionskoefficienterna och restvariansen inte längre är konstanta utan varierar cykliskt med tiden. Hans arbete följer ett antal andra studier av cyklostationära processer inom området tidsserieanalys .

Polycyklostationaritet

I praktiken uppstår signaler som uppvisar cyklicitet med mer än en inkompatibel period och kräver en generalisering av teorin om cyklostationaritet. Sådana signaler kallas polycyklostationära om de uppvisar ett ändligt antal inkommensurerade perioder och nästan cyklostationära om de uppvisar ett oändligt antal. Sådana signaler uppstår ofta i radiokommunikation på grund av flera sändningar med olika sinusvågsbärfrekvenser och digitala symbolhastigheter. Teorin introducerades för stokastiska processer och vidareutvecklades för icke-stokastiska tidsserier.

Högre ordning och strikt förnuft cyklostationaritet

Den breda känslasteorin om tidsserier som uppvisar cyklostationaritet, polycyklostationaritet och nästan cyklostationaritet som har sitt ursprung och utvecklats av Gardner generaliserades också av Gardner till en teori om högre ordningens temporala och spektrala moment och kumulanter och en strikt meningsteori om kumulativa sannolikhetsfördelningar. Den encyklopediska boken lär ut allt detta och ger en vetenskaplig behandling av Gardners ursprungspublikationer och bidrag därefter från andra.

Ansökningar

• Cyklostationaritet har extremt olika tillämpningar inom i stort sett alla områden av ingenjörsvetenskap och vetenskap, vilket är noggrant dokumenterat i och. Några exempel är:
• Cyklostationaritet används inom telekommunikation för signalsynkronisering , sändar- och mottagaroptimering och spektrumavkänning för kognitiv radio;
• I signalintelligens används cyklostationaritet för signalavlyssning;
• Inom ekonometri används cyklostationaritet för att analysera finansmarknadernas periodiska beteende;
• Köteori använder cyklostationär teori för att analysera datornätverk och biltrafik;
• Cyklostationaritet används för att analysera mekaniska signaler som produceras av roterande och fram- och återgående maskiner.

Vinkel-tidscyklostationaritet hos mekaniska signaler

Mekaniska signaler som produceras av roterande eller fram- och återgående maskiner är anmärkningsvärt väl modellerade som cyklostationära processer. Den cyklostationära familjen accepterar alla signaler med dolda periodiciteter, antingen av additiv typ (närvaro av tonala komponenter) eller multiplikativ typ (närvaro av periodiska moduleringar). Detta råkar vara fallet för buller och vibrationer som produceras av växelmekanismer, lager, förbränningsmotorer, turbofläktar, pumpar, propellrar, etc. Den explicita modelleringen av mekaniska signaler som cyklostationära processer har visat sig vara användbar i flera applikationer, såsom i buller , vibrationer och hårdhet (NVH) och tillståndsövervakning . Inom det senare fältet har cyklostationaritet visat sig generalisera enveloppspektrumet , en populär analysteknik som används vid diagnostik av lagerfel.

En egenhet med roterande maskinsignaler är att processens period är strikt kopplad till rotationsvinkeln för en specifik komponent - maskinens "cykel". Samtidigt måste en tidsbeskrivning bevaras för att återspegla naturen hos dynamiska fenomen som styrs av differentialekvationer för tid. Därför används vinkel-tid autokorrelationsfunktionen ,

$R_{x}(\theta ,\tau )=\operatörsnamn {E} \{x(t(\theta )+\tau )x^{*}(t(\theta ))\},\,$

där $\theta$ står för angle, $t(\theta )$ för det ögonblick som motsvarar vinkeln $\theta$ och $\tau$ för tidsfördröjning . Processer vars vinkel-tid autokorrelationsfunktion uppvisar en komponent periodisk i vinkel, dvs sådan att $R_{x}(\theta ;\tau )$ har en Fourier-Bohr-koefficient som inte är noll för vissa vinkelperiod $\Theta$ , kallas (vidförstånd) vinkel-tid cyklostationär. Den dubbla Fouriertransformen av vinkel-tid autokorrelationsfunktionen definierar ordningsfrekvensspektralkorrelationen ,

$S_{x}^{\alpha }(f)=\lim _{S\rightarrow +\infty }{\frac {1}{S}}\int _{-S/2}^ {S/2}\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\theta ,\tau )e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi \alpha {\frac {\theta }{\Theta }}}\,\mathrm {d} \tau \,\mathrm {d} \theta$

där $\alpha$ är en ordning (enhet i händelser per varv ) och $f$ en frekvens (enhet i Hz).

För konstant rotationshastighet, $\omega$ , är vinkeln proportionell mot tiden, $\theta =\omega t$ . Följaktligen är vinkel-tid autokorrelationen helt enkelt en cyklicitetsskalad traditionell autokorrelation; det vill säga, cykelfrekvenserna skalas med $\omega$ . Å andra sidan, om rotationshastigheten ändras med tiden, är signalen inte längre cyklostationär (såvida inte hastigheten varierar periodiskt). Därför är det inte en modell för cyklostationära signaler. Det är inte ens en modell för tidsförvrängd cyklostationaritet, även om det kan vara en användbar approximation för tillräckligt långsamma förändringar i rotationshastighet.

externa länkar

• Brus i blandare, oscillatorer, samplare och logik: en introduktion till cyklostationärt brusmanuskript kommenterad presentationspresentation