Spårdiagram

Ett spårdiagram som representerar adjugatet av en matris .

Inom matematiken är spårdiagram ett grafiskt sätt att utföra beräkningar i linjär och multilinjär algebra . De kan representeras som (något modifierade) grafer där vissa kanter är märkta med matriser . De enklaste spårdiagrammen representerar spåret och determinanten för en matris. Flera resultat i linjär algebra, som Cramers regel och Cayley–Hamilton-satsen , har enkla schematiska bevis. De är nära besläktade med Penroses grafiska notation .

Formell definition

Låt V vara ett vektorrum med dimensionen n över ett fält F (med n ≥2), och låt Hom( V , V ) beteckna de linjära transformationerna på V . Ett n- spårdiagram är en graf ${\displaystyle {\mathcal {D}}=(V_{1}\sqcup V_{2}\sqcup V_{n$ , där mängderna V _i ( i = 1, 2, n ) är sammansatta av hörn av grad i , tillsammans med följande ytterligare strukturer:

en ciliation vid varje vertex i grafen, vilket är en explicit ordning av de intilliggande kanterna vid den vertexen;
en märkning V2 → Hom( V , V ) som associerar varje grad-2 vertex till en linjär transformation _.

Observera att V ₂ och V _n bör betraktas som distinkta uppsättningar i fallet n = 2. Ett inramat spårdiagram är ett spårdiagram tillsammans med en uppdelning av grad-1 hörn V ₁ i två disjunkta ordnade samlingar som kallas ingångarna och utgångar .

Den "graf" som ligger bakom ett spårningsdiagram kan ha följande speciella egenskaper, som inte alltid ingår i standarddefinitionen av en graf:

Slingor är tillåtna (en slinga är en kant som förbinder en vertex med sig själv).
Kanter som inte har några hörn är tillåtna och representeras av små cirklar.
Flera kanter mellan samma två hörn är tillåtna.

Rita konventioner

När spårdiagram ritas, representeras ciliationen på en n -vertex vanligen av ett litet märke mellan två av de infallande kanterna (i figuren ovan, en liten röd prick); den specifika ordningen av kanter följer genom att gå moturs från detta märke.
Ciliationen och märkningen vid en grad-2 vertex kombineras till en enda riktad nod som gör att man kan skilja den första kanten (den inkommande kanten) från den andra kanten (den utgående kanten).
Inramade diagram ritas med ingångar längst ner i diagrammet och utgångar överst i diagrammet. I båda fallen motsvarar ordningen läsning från vänster till höger.

Korrespondens med multilinjära funktioner

Varje inramat spårdiagram motsvarar en multilinjär funktion mellan tensorpotenserna i vektorrummet V . Grad-1 hörn motsvarar ingångarna och utgångarna för funktionen, medan graden n hörn motsvarar den generaliserade Levi-Civita-symbolen (som är en antisymmetrisk tensor relaterad till determinanten ). Om ett diagram inte har några utgångssträngar, mappar dess funktion tensorprodukter till en skalär. Om det inte finns några grad-1 hörn, sägs diagrammet vara stängt och dess motsvarande funktion kan identifieras med en skalär.

Per definition beräknas ett spårdiagrams funktion med hjälp av teckenfärgning av grafer . För varje kantfärgning av grafens kanter med n etiketter, så att inga två kanter som gränsar till samma vertex har samma etikett, tilldelar man en vikt baserat på etiketterna vid hörnen och etiketterna intill matrisetiketterna. Dessa vikter blir koefficienterna för diagrammets funktion.

I praktiken beräknas ett spårdiagrams funktion typiskt genom att sönderdela diagrammet i mindre bitar vars funktioner är kända. Den övergripande funktionen kan sedan beräknas genom att omkomponera de enskilda funktionerna.

Exempel

3-vektordiagram

Flera vektoridentiteter har enkla bevis med hjälp av spårdiagram. Det här avsnittet täcker diagram med tre spår. I översättningen av diagram till funktioner kan det visas att positionerna för ciliationerna vid 3 graders hörn inte har någon inverkan på den resulterande funktionen, så de kan utelämnas.

Det kan visas att korsprodukten och punktprodukten av 3-dimensionella vektorer representeras av

I denna bild visas ingångarna till funktionen som vektorer i gula rutor längst ner i diagrammet. Korsproduktdiagrammet har en utgångsvektor, representerad av den fria strängen överst i diagrammet. Punktproduktdiagrammet har ingen utdatavektor; därför är dess utdata en skalär.

Som ett första exempel, betrakta den skalära trippelproduktidentiteten

(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {w} \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} =\det(\mathbf {u} \mathbf {v} \mathbf {w} ).

För att bevisa detta schematiskt, notera att alla följande figurer är olika avbildningar av samma 3-spårdiagram (enligt definitionen ovan):

Genom att kombinera ovanstående diagram för korsprodukten och prickprodukten kan man avläsa de tre diagrammen längst till vänster som exakt de tre skalära trippelprodukterna längst till vänster i ovanstående identitet. Det kan också visas att diagrammet längst till höger representerar det[ u v w ]. Den skalära trippelproduktidentiteten följer eftersom var och en är en annan representation av samma diagrams funktion.

Som ett andra exempel kan man visa det

(där likheten indikerar att identiteten gäller för de underliggande multilinjära funktionerna). Man kan visa att denna typ av identitet inte förändras genom att "böja" diagrammet eller bifoga fler diagram, förutsatt att förändringarna är konsekventa över alla diagram i identiteten. Således kan man böja toppen av diagrammet ner till botten och fästa vektorer på var och en av de fria kanterna, för att få

som lyder

(\mathbf {x} \times \mathbf {u} )\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ),

en välkänd identitet som relaterar till fyra 3-dimensionella vektorer.

Diagram med matriser

De enklaste stängda diagrammen med en enda matrisetikett motsvarar koefficienterna för det karakteristiska polynomet , upp till en skalär faktor som endast beror på matrisens dimension. En representation av dessa diagram visas nedan, där $\propto$ används för att indikera likhet upp till en skalär faktor som endast beror på dimensionen n av det underliggande vektorrummet.

.

Egenskaper

Låt G vara gruppen av n×n matriser. Om ett slutet spårdiagram är märkt med k olika matriser kan det tolkas som en funktion från $G^{k}$ till en algebra av multilinjära funktioner. Denna funktion är invariant under samtidig konjugation , det vill säga funktionen som motsvarar $(g_{1},\ldots ,g_{k})$ är densamma som funktionen som motsvarar $(ag_{1}a^{-1},\ldots ,ag_{k}a^{-1})$ för alla inverterbara $a\in G$ .

Tillägg och applikationer

Spårdiagram kan vara specialiserade för särskilda Lie-grupper genom att ändra definitionen något. I detta sammanhang kallas de ibland för fågelspår, tensordiagram eller Penrose grafisk notation .

Spårdiagram har i första hand använts av fysiker som ett verktyg för att studera Lie-grupper . De vanligaste applikationerna använder representationsteori för att konstruera spinnnätverk från spårdiagram. I matematik har de använts för att studera karaktärsvarianter .

Se även

Böcker:

Diagram Techniques in Group Theory , GE Stedman, Cambridge University Press, 1990
Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups , Predrag Cvitanović , Princeton University Press, 2008, http://birdtracks.eu/