Solvenskon

Solvenskonen är ett begrepp som används inom finansiell matematik som modellerar möjliga affärer på finansmarknaden . Detta är av särskilt intresse för marknader med transaktionskostnader . Specifikt är det den konvexa konen av portföljer som kan bytas ut mot portföljer av icke-negativa komponenter (inklusive betalning av eventuella transaktionskostnader).

Matematisk grund

Om en bud-fråga-matris ges $\Pi$ för $d$ tillgångar så att $\Pi =\left(\pi ^ {ij}\right)_{1\leq i,j\leq d}$ och $m\leq d$ är antalet tillgångar som med en icke-negativ kvantitet av dem kan "kasseras" (traditionellt $m=d$ ), då är solvenskonen $K(\Pi )\subset \mathbb {R} ^{d}$ den konvexa könen av enhetsvektorerna $e^{i},1\leq i\leq m$ och vektorerna ${\ displaystyle \pi ^{ij}e^{i}-e^{j},1\leq i,j\leq d}$ .

Definition

En solvenskon $K$ är vilken sluten konvex kon som helst så att $K\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ och $K\supseteq \mathbb {R} _{+}^{d}$ .

Används

En process av (slumpmässiga) solvenskoner ${\displaystyle \left\{K_{t}(\omega )\right\}_{t=0}^{T}} är$ en modell av en finansmarknad. Detta kallas ibland en marknadsprocess .

Det negativa med en solvenskon är den uppsättning portföljer som kan erhållas från nollportföljen. Detta är intimt relaterat till självfinansierande portföljer .

Solvenskonens dubbla kon ( K + $displaystyle K^{+}=\left\{w\in \mathbb {R} ^{ d}:\forall v\in K:0\leq w^{T}v\right\}} )$ är den uppsättning priser som skulle definiera ett friktionsfritt prissättningssystem för tillgångarna som är förenligt med marknaden. Detta kallas också ett konsekvent prissättningssystem .

Exempel

Exempel på solvenskon utan transaktionskostnader

Exempel på solvenskon med transaktionskostnader

Antag att det finns 2 tillgångar, A och M med 1 till 1 utbyte möjligt.

Friktionsfri marknad

På en friktionsfri marknad kan vi uppenbarligen göra (1A,-1M) och (-1A,1M) till icke-negativa portföljer, därför $K= \{x\in \mathbb {R} ^{2}:(1,1)x\geq 0\}$ . Observera att (1,1) är "prisvektorn".

Med transaktionskostnader

Antag vidare att det finns 50 % transaktionskostnader för varje affär. Detta innebär att (1A,-1M) och (-1A,1M) inte kan bytas ut till icke-negativa portföljer. Men (2A,-1M) och (-1A,2M) kan handlas till icke-negativa portföljer. Det kan ses att $K=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:( 2,1)x\geq 0,(1,2)x\geq 0\}$ .

Den dubbla priskonen är alltså lättast att se när det gäller priserna på A i termer av M (och på liknande sätt för priset på M i termer av A):

• någon erbjuder 1A för tM: $(0,t)\rightarrow (1,0)\rightarrow (0,{\frac {1}{2} })$ därför finns det arbitrage om $t<{\frac {1}{2}}$
• någon erbjuder tM för 1A: $(1,0)\rightarrow (0,t)\rightarrow ({\frac {t}{2}}, 0)$ därför finns det arbitrage om $t>2$

Egenskaper

Om en solvenskon $K$ :

• innehåller en rad, så är det möjligt att byta utan transaktionskostnader.
• ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}^{d}} ,$ då finns det inget möjligt utbyte, dvs marknaden är helt illikvid .