Snabbt Kalman-filter

Det snabba Kalman-filtret (FKF) , utarbetat av Antti Lange (född 1941), är en förlängning av Helmert-Wolf-blockeringsmetoden (HWB) från geodesi till säkerhetskritiska realtidsapplikationer av Kalman-filtrering (KF) som GNSS- navigering upp till centimeters noggrannhet och satellitbilder av jorden inklusive atmosfärisk tomografi.

Motivering

Kalman-filter är en viktig filtreringsteknik för att bygga feltolerans i ett brett utbud av system, inklusive realtidsavbildning. Det vanliga Kalman-filtret är en optimal filtreringsalgoritm för linjära system. Ett optimalt Kalmanfilter är dock inte stabilt (dvs tillförlitligt) om Kalmans observerbarhets- och kontrollerbarhetsvillkor inte kontinuerligt är uppfyllda. Dessa förhållanden är mycket utmanande att upprätthålla för alla större system. Detta innebär att även optimala Kalman-filter kan börja divergera mot falska lösningar. Lyckligtvis kan stabiliteten hos ett optimalt Kalman-filter kontrolleras genom att övervaka dess felvarianser om bara dessa kan uppskattas tillförlitligt (t.ex. av MINQUE ). Deras exakta beräkning är dock mycket mer krävande än den optimala Kalman-filtreringen i sig. FKF-beräkningsmetoden ger ofta den erforderliga hastigheten även i detta avseende.

Optimal kalibrering

Kalibreringsparametrar är ett typiskt exempel på de tillståndsparametrar som kan skapa allvarliga observerbarhetsproblem om ett smalt datafönster (dvs för få mätningar) kontinuerligt används av ett Kalman-filter. Att observera instrument ombord som kretsar kring satelliter ger ett exempel på optimal Kalman-filtrering där deras kalibrering görs indirekt på marken. Det kan också finnas andra tillståndsparametrar som knappt eller inte alls är observerbara om för små sampel av data behandlas åt gången av något slags Kalman-filter.

Omvänt problem

Beräkningsbelastningen för det omvända problemet med en vanlig Kalman-rekursion är ungefär proportionell mot kuben för antalet mätningar som behandlas samtidigt. Detta nummer kan alltid ställas in på 1 genom att bearbeta varje skalär mätning oberoende och (om nödvändigt) utföra en enkel förfiltreringsalgoritm för att avkorrelera dessa mätningar. Men för alla stora och komplexa system kan denna förfiltrering behöva HWB-beräkning. Varje fortsatt användning av ett för smalt fönster med indata försvagar observerbarheten av kalibreringsparametrarna och på lång sikt kan detta leda till allvarliga kontrollerbarhetsproblem som är totalt oacceptabla i säkerhetskritiska applikationer.

Även när många mätningar bearbetas samtidigt är det inte ovanligt att det linjäriserade ekvationssystemet blir sparsamt, eftersom vissa mätningar visar sig vara oberoende av vissa tillstånd eller kalibreringsparametrar. I problem med satellitgeodesi är beräkningsbelastningen för HWB-metoden (och FKF) ungefär proportionell mot kvadraten av det totala antalet tillstånds- och kalibreringsparametrar endast och inte av mätningarna som är miljarder.

Pålitlig lösning

Tillförlitlig operativ Kalman-filtrering kräver kontinuerlig sammansmältning av data i realtid. Dess optimalitet beror i huvudsak på användningen av exakta varianser och kovarianser mellan alla mätningar och det uppskattade tillståndet och kalibreringsparametrarna. kovariansmatris för stora fel erhålls genom matrisinversion från respektive system med normala ekvationer . Dess koefficientmatris är vanligtvis sparsam och den exakta lösningen av alla uppskattade parametrar kan beräknas med hjälp av HWB (och FKF) metoden. Den optimala lösningen kan också erhållas genom Gauss-eliminering med användning av andra glesmatristekniker eller några iterativa metoder baserade t.ex. på Variationsräkning . Emellertid kan dessa senare metoder lösa den stora matrisen av alla felvarianser och kovarianser endast ungefärligen och datafusionen skulle inte utföras på ett strikt optimalt sätt. Följaktligen blir den långsiktiga stabiliteten för Kalman-filtrering osäker även om Kalmans observerbarhets- och kontrollerbarhetsvillkor var permanent uppfyllda.

Beskrivning

Fast Kalman-filtret gäller endast system med glesa matriser, eftersom HWB är en inversionsmetod för att lösa glesa linjära ekvationer (Wolf, 1978).

Den glesa koefficientmatrisen som ska inverteras kan ofta ha antingen en kantad block- eller banddiagonal (BBD) struktur. Om den är banddiagonal kan den omvandlas till en blockdiagonal form t.ex. med hjälp av en generaliserad kanonisk korrelationsanalys ( gCCA) .

En så stor matris kan därför mest effektivt inverteras på ett blockvis sätt genom att använda följande analytiska inversionsformel :

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1 }={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{- 1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^ {-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}$

av Frobenius där

$A=$ en stor block- eller banddiagonal (BD) matris som lätt kan inverteras, och,

$(D-CA^{-1}B )=$ en mycket mindre matris som kallas Schur- komplementet av $A$ .

Detta är FKF-metoden som kan göra det beräkningsmässigt möjligt att uppskatta ett mycket större antal tillstånds- och kalibreringsparametrar än vad en vanlig Kalmanrekursion kan göra. Deras driftnoggrannhet kan också uppskattas tillförlitligt utifrån teorin om Minimum-Norm Quadratic Unbiased Estimation ( MINQUE ) av CR Rao och användas för att kontrollera stabiliteten hos denna optimala snabba Kalman-filtrering.

Ansökningar

FKF-metoden utökar den mycket höga noggrannheten hos satellitgeodesin till virtuell referensstation (VRS) realtidskinematisk (RTK) mätning, mobil positionering och ultratillförlitlig navigering. De första viktiga tillämpningarna kommer att vara optimal realtidskalibrering av globala observationssystem inom meteorologi, geofysik, astronomi etc.

Till exempel kan ett numeriskt väderprognossystem (NWP) nu prognostisera observationer med konfidensintervall och deras operativa kvalitetskontroll kan därmed förbättras. En plötslig ökning av osäkerheten i att förutsäga observationer skulle tyda på att viktiga observationer saknas (observationsproblem) eller att en oförutsägbar väderomställning äger rum (kontrollerbarhetsproblem). Fjärranalys och avbildning från satelliter baseras delvis på prognostiserad information. Att kontrollera stabiliteten i återkopplingen mellan dessa prognoser och satellitbilderna kräver en sensorfusionsteknik som är både snabb och robust, vilket FKF uppfyller.

Den beräkningsmässiga fördelen med FKF är marginell för applikationer som endast använder små mängder data i realtid. Därför måste förbättrade inbyggda kalibrerings- och datakommunikationsinfrastrukturer utvecklas först och introduceras för allmänheten innan personliga prylar och maskin-till-maskin-enheter kan göra det bästa av FKF.

externa länkar

• BBD - programvara
• FKF - formler
• HWB - formler
• Felkovariansmatrisen för FKF - formler
• Det finns andra Fast Kalman-algoritmer designade för speciella signalbehandlingsändamål, se t.ex. Stabilizing the Fast Kalman Algorithms på IEEE Xplore
• Kalman filterrecept för bildbehandling i realtid