Snävt flyktproblem

För Fargo -avsnittet, se The Narrow Escape Problem .

Problemet med narrow escape är ett allestädes närvarande problem inom biologi , biofysik och cellbiologi .

Den matematiska formuleringen är följande: en Brownsk partikel ( jon , molekyl eller protein ) är begränsad till en avgränsad domän (ett fack eller en cell) av en reflekterande gräns, förutom ett litet fönster genom vilket den kan fly. Det smala utrymningsproblemet är att beräkna medelutrymningstiden. Denna tid divergerar när fönstret krymper, vilket gör beräkningen till ett unikt störningsproblem .

När utrymningen är ännu strängare på grund av allvarliga geometriska restriktioner vid utrymningsplatsen, blir problemet med trånga utrymningar det svåra problemet .

Problemet med narrow escape föreslogs i samband med biologi och biofysik av D. Holcman och Z. Schuss, och senare med A. Singer och ledde till narrow escape-teorin inom tillämpad matematik och beräkningsbiologi .

Formulering

En partikels rörelse beskrivs av Smoluchowski-gränsen för Langevin-ekvationen :

$$dX_{t}={\sqrt {2D}}\,dB_{t}+{\frac {1}{\gamma } }F(x)\,dt$$

där $D$ är diffusionskoefficienten för partikeln, $\gamma$ är friktionskoefficienten per massenhet, $F(x)$ kraften per massenhet, och $B_{t}$ är en Brownsk rörelse .

Genomsnittlig första passagetid och Fokker-Plancks ekvation

En vanlig fråga är att uppskatta medeluppehållstiden för en partikel som diffunderar i en avgränsad domän $\Omega$ innan den flyr genom ett litet absorberande fönster $\partial \Omega _{a}$ i dess gräns $\partial \Omega$ . Tiden uppskattas asymptotiskt i gränsen ${\textstil \varepsilon ={\frac {|\partial \Omega _{a}|}{|\partial \Omega |}}\ll 1}$

Sannolikhetstäthetsfunktionen (pdf) $p_{\varepsilon }(x,t)$ är sannolikheten för att hitta partikeln i position $x$ vid tidpunkten $t$ .

Pdf-filen uppfyller Fokker–Plancks ekvation :

$${\frac {\partial }{\partial t}}p_{\varepsilon }(x,t)=D\Delta p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {1}{\gamma }}\nabla (p_{\varepsilon }(x, t)F(x))$$

med initialt skick

$$p_{\varepsilon }(x,0)=\rho _{0}(x)\,$$

och blandade Dirichlet–Neumann- gränsvillkor ( $t>0$ )

$$p_{\varepsilon }(x,t)=0{\text{ för }}x\in \partial \Omega _{a}$$

$$D{\frac {\partial } {\partial n}}p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {p_{\varepsilon }(x,t)}{\gamma }}F(x)\cdot n(x)=0{ \text{ för }}x\in \partial \Omega -\partial \Omega _{a}$$

Funktionen

$$u_{\varepsilon }(y)=\int _{\Omega }\int _{0}^{\ infty }p_{\varepsilon }(x,ty)\,dt\,dx$$

representerar medeluppehållstiden för partikeln, betingad av den initiala positionen $y$ . Det är lösningen på gränsvärdesproblemet

$$D\Delta u_{\varepsilon }(y)+{\frac {1}{\gamma }} F(y)\cdot \nabla u_{\varepsilon }(y)=-1$$

$$u_{\varepsilon }(y)=0{\text{ för }}y\in \partial \Omega _{a}$$

$${\frac {\partial u_{\varepsilon }(y)}{\partial n}}=0{\text{ för }}y\ i \partial \Omega _{r}$$

Lösningen beror på domänens dimension. För en partikel som diffunderar på en tvådimensionell skiva

$$u_{\varepsilon }(y)={\frac {A}{\pi D}}\ln {\frac {1 }{\varepsilon }}+O(1),$$

där $A$ är ytan på domänen. Funktionen $u_{\epsilon }(y)$ är inte beroende av startpositionen $y$ , förutom ett litet gränsskikt nära den absorberande gränsen på grund av den asymptotiska formen.

Den första ordningens term spelar roll i dimension 2: för en cirkulär skiva med radien $R$ är medelutrymningstiden för en partikel som börjar i mitten

$$E(\tau |x(0)=0)={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\ höger)+\log 2+{\frac {1}{4}}+O(\varepsilon )\right).$$

Utrymningstiden i medeltal med avseende på en enhetlig initial fördelning av partikeln ges av

$$E(\tau )={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+ {\frac {1}{8}}+O(\varepsilon )\right).$$

Den lilla öppningens geometri kan påverka flykttiden: om det absorberande fönstret är placerat i ett hörn av vinkeln ${\displaystyle \alpha },$ då:

$$E\tau ={\frac {|\Omega |}{\alpha D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\höger].$$

Mer överraskande, nära en spets i en tvådimensionell domän, växer flykttiden $E\tau$ algebraiskt snarare än logaritmiskt: i domänen avgränsad mellan två tangentcirklar är flykttiden:

$$E\tau ={\frac {|\Omega |}{(d-1)D}}\left({\frac {1} {\varepsilon }}+O(1)\right),$$

där d > 1 är förhållandet mellan radierna. Slutligen, när domänen är en annulus, involverar flykttiden till en liten öppning på den inre cirkeln en andra parameter som är $\beta ={\frac {R_{1} }{R_{2}}}<1,$ förhållandet mellan den inre och den yttre radien, flykttiden, i medeltal med avseende på en enhetlig initial fördelning, är:

$$E\tau ={\frac {(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon } }+\log 2+2\beta ^{2}\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {R_{2}^{2}}{1-\beta ^{2}} }\log {\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{4}}R_{2}^{2}+O(\varepsilon ,\beta ^{4})R_{2} ^{2}.$$

Denna ekvation innehåller två termer av den asymptotiska expansionen av $E\tau$ och $2\epsilon$ är vinkeln på den absorberande gränsen. Fallet $\beta$ nära 1 förblir öppet, och för allmänna domäner förblir den asymptotiska expansionen av flykttiden ett öppet problem. Det gör också problemet med att beräkna flykttiden nära en cusp-punkt i tredimensionella domäner. För Brownsk rörelse i ett kraftfält

$$F(x)\neq 0$$

gapet i spektrumet är inte nödvändigtvis litet mellan det första och det andra egenvärdet, beroende på den relativa storleken på det lilla hålet och kraftbarriärerna måste partikeln övervinna för att fly. Utrymningsströmmen är inte nödvändigtvis poissonisk .

Analytiska resultat

Ett teorem som relaterar det Brownska rörelseflyktproblemet till ett (deterministiskt) partiell differentialekvationsproblem är följande.

Teorem — Låt $\Omega$ vara en avgränsad domän med jämn gräns $\partial \Omega$ och $\Gamma$ vara en sluten delmängd av $\partial \Omega$ . För varje $x\in \Omega$ , låt $\tau _{x}$ vara första gången en partikel träffar $\Gamma$ , förutsatt att partikeln börjar från $x$ , är föremål för den Brownska rörelsen i $\Omega$ , och reflekterar från $\partial \Omega$ . Sedan, medeltiden för första passage, ${\displaystyle T(x):=\mathbb {E} [\tau _{x}]} ,$ och dess varians, $v(x):=\mathbb {E} [(\tau _{x}-T(x))^{2}]$ , är lösningar på följande problem med gränsvärden:

$$-\Delta T=2{\text{ i }}\Omega ,~T=0{\text{ på }}\Gamma ,~\partial _{n}T=0{\text{ på }}\partial \Omega \setminus \Gamma$$

$$-\Delta v=2\vert \nabla T\vert ^{2}{\text{ in }}\Omega ,~v =0{\text{ på }}\Gamma ,~\partial _{n}v=0{\text{ på }}\partial \Omega \setminus \Gamma$$

Här $\partial _{n}:=n\cdot \nabla$ derivatan i riktningen $n$ , den yttre normalen till $\partial \Omega .$ Dessutom kan medelvärdet av variansen beräknas från formeln

$${\bar {v}}:={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }v(x )dx={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }T^{2}(x)dx=:T^{2}$$

Den första delen av teoremet är ett klassiskt resultat, medan den genomsnittliga variansen bevisades 2011 av Carey Caginalp och Xinfu Chen.

Flykttiden har varit föremål för ett antal studier som använder den lilla grinden som en asymptotiskt liten parameter. Följande slutna formresultat ger en exakt lösning som bekräftar dessa asymptotiska formler och utökar dem till grindar som inte nödvändigtvis är små.

Sats (Carey Caginalp och Xinfu Chen sluten formel) — I 2-D, med punkter identifierade med komplexa tal, låt

$$\Omega :=\left\{re^{i\theta }\vert 0\leq r<1,{\text{ }}-\varepsilon \leq \theta \leq 2\pi -\ varepsilon \right\},~\Gamma :=\left\{e^{i\theta }\vert \vert \theta \vert \leq \varepsilon \right\}$$

ges den genomsnittliga första passagetiden $T(z)$ , för ${\displaystyle z\in {\bar {\Omega }}} , av$

$$T(z)={\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{2}}+2\log {\left|{\frac {1-z+{\sqrt {(1- ze^{-i\varepsilon })(1-ze^{i\varepsilon })}}}{2\sin {\frac {\varepsilon }{2}}}}\right|}$$

En annan uppsättning resultat gäller sannolikhetstätheten för platsen för utfarten.

Teorem (Carey Caginalp och Xinfu Chen sannolikhetstäthet) — Sannolikhetstätheten för platsen för en partikel vid tidpunkten för dess utträde ges av

$${\bar {j}}(e^{i\theta }):=-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial r}}T (e^{i\theta })={\begin{cases}0,&{\text{if }}\varepsilon <\theta <2\pi -\varepsilon \\{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\varepsilon }{2}}-\sin ^{2}{\ frac {\theta }{2}}}}},&{\text{if }}\vert \theta \vert <\varepsilon \end{cases}}$$

Det vill säga, för varje ( Borel-mängd ) $\gamma \subset \partial \Omega$ , sannolikheten att en partikel, som börjar antingen vid ursprunget eller likformigt fördelad i $\Omega$ , uppvisar Brownsk rörelse i $\Omega$ , som reflekterar när den träffar ${\displaystyle \partial \Omega \setminus \Gamma } ,$ och flyr när den träffar $\Gamma$ , slutar med att fly från $\gamma$ är

$$P(\gamma )=\int _{\gamma }{\bar {j}}(y)dS_{y}$$

där $dS_{y}$ är ytelementet för $\partial \Omega$ vid $y\in \partial \Omega$ .

Simuleringar av Brownsk rörelseflykt

I simulering finns ett slumpmässigt fel på grund av den statistiska urvalsprocessen. Detta fel kan begränsas genom att vädja till den centrala gränssatsen och använda ett stort antal sampel. Det finns också ett diskretiseringsfel på grund av den ändliga storleksapproximationen av stegstorleken vid approximering av den Brownska rörelsen. Man kan sedan få empiriska resultat då stegstorlek och grindstorlek varierar. Genom att använda det exakta resultatet som citeras ovan för det specifika fallet med cirkeln, är det möjligt att göra en noggrann jämförelse av den exakta lösningen med den numeriska lösningen. Detta belyser skillnaden mellan finita steg och kontinuerlig diffusion. En fördelning av utfartsplatser erhölls också genom simuleringar för detta problem.

Biologiska tillämpningar

Stokastiska kemiska reaktioner i mikrodomäner

Framåthastigheten för kemiska reaktioner är den reciproka av den smala flykttiden, som generaliserar den klassiska Smoluchowski-formeln för Brownska partiklar som ligger i ett oändligt medium. En Markov-beskrivning kan användas för att uppskatta bindningen och avbindningen till ett litet antal platser.

externa länkar

• Tillämpad matematik och beräkningsbiologi vid Ecole Normale Superieure, Paris
• Carey Caginalp publikationer och föreläsningar http://www.pitt.edu/~careycag/
• Comptes Rendus papper http://www.pitt.edu/~careycag/paper1.pdf
• ARMA papper http://www.pitt.edu/~careycag/paper2.pdf