Slumpmässig sekventiell adsorption

Slumpmässig sekventiell adsorption ( RSA ) hänvisar till en process där partiklar införs slumpmässigt i ett system, och om de inte överlappar någon tidigare adsorberad partikel, adsorberar de och förblir fixerade under resten av processen. RSA kan utföras i datorsimulering , i en matematisk analys eller i experiment. Det studerades först av endimensionella modeller: fästningen av hängande grupper i en polymerkedja av Paul Flory , och bilparkeringsproblemet av Alfréd Rényi . Andra tidiga verk inkluderar Benjamin Widoms . I två och högre dimensioner har många system studerats genom datorsimulering, inklusive i 2d, skivor, slumpmässigt orienterade kvadrater och rektanglar, inriktade kvadrater och rektanglar, olika andra former, etc.

Ett viktigt resultat är den maximala yttäckningen, kallad mättnadstäckning eller packningsfraktionen. På den här sidan listar vi den täckningen för många system.

Mättnad i slumpmässig sekventiell adsorption (RSA) av cirkulära skivor.

Blockeringsprocessen har studerats i detalj i termer av modellen för slumpmässig sekventiell adsorption ( RSA). Den enklaste RSA-modellen relaterad till avsättning av sfäriska partiklar överväger irreversibel adsorption av cirkulära skivor. Den ena skivan efter den andra placeras slumpmässigt på en yta. När en skiva väl är placerad fastnar den på samma plats och kan inte tas bort. När ett försök att deponera en disk skulle resultera i en överlappning med en redan deponerad disk, avvisas detta försök. Inom denna modell fylls ytan till en början snabbt, men ju mer man närmar sig mättnad desto långsammare fylls ytan. Inom RSA-modellen kallas mättnad ibland som störning. För cirkulära skivor sker mättnad vid en täckning på 0,547. När de avsatta partiklarna är polydispersa kan mycket högre yttäckning uppnås, eftersom de små partiklarna kommer att kunna avsättas i hålen mellan de större avsatta partiklarna. Å andra sidan kan stavliknande partiklar leda till mycket mindre täckning, eftersom ett fåtal felinriktade stavar kan blockera en stor del av ytan.

För det endimensionella parkeringsbilsproblemet har Renyi visat att den maximala täckningen är lika med

$\theta _{1}=\int _{0}^{\infty }\exp left(-2\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-y}}{y}}dy\right)dx=0.7475979202534\ldots$

den så kallade Renyi-parkeringskonstanten.

Sedan följde förmodan från Ilona Palásti , som föreslog att täckningen av d-dimensionella kvadrater, kuber och hyperkuber är lika med θ ₁^d . Denna gissning ledde till en hel del arbete som argumenterade för det, emot det, och slutligen datorsimuleringar i två och tre dimensioner som visade att det var en bra uppskattning men inte exakt. Noggrannheten av denna gissning i högre dimensioner är inte känd.

För $k$ -merer på ett endimensionellt gitter har vi för bråkdelen av hörn som täcks,

$\theta _{k}=k\int _{0}^{\infty }\exp \left(-u-2\sum _{j=1}^{k-1}{ \frac {1-e^{-ju}}{j}}\right)du=k\int _{0}^{1}\exp \left(-2\sum _{j=1}^{k -1}{\frac {1-v^{j}}{j}}\right)dv$

När $k$ går till oändlighet, ger detta Renyi-resultatet ovan. För k = 2 ger detta Flory-resultatet $\theta _{1}=1-e^{-2}$ .

För perkolationströsklar relaterade till slumpmässigt sekventiellt adsorberade partiklar, se Perkolationströskel .

RSA av nålar (oändligt tunna linjesegment). Detta visar ett tätt stadium även om mättnad här aldrig inträffar.

Mättnadstäckning av k -merer på 1d gittersystem

systemet	Mättad täckning $\theta _{k}$ (bråkdel av webbplatser fyllda)
dimerer	$1-e^{-2}=0,86466472$
trimers	${\frac {3{\sqrt {\pi }}({\text{erfi}}(2)-{\text{ erfi}}(1))}{2e^{4}}}\approx 0,82365296$
k = 4	$0,80389348$
k = 10	$0,76957741$
k = 100	$0,74976335$
k = 1000	$0,74781413$
k = 10 000	$0,74761954$
k = 100 000	$0,74760008$
k = $\infty$	$0,74759792$

Asymptotiskt beteende: $\theta _{k}\sim \theta _{\infty }+0,2162/k+\ldots$ .

Mättnadstäckning av segment med två längder på en endimensionell kontinuum

R = storleksförhållandet mellan segmenten. Antag lika adsorptionshastigheter

systemet	Mättad täckning $\theta$ (fraktion av linje fylld)
R = 1	0,74759792
R = 1,05	0,7544753(62)
R = 1,1	0,7599829(63)
R = 2	0,7941038(58)

Mättnadstäckning av k -merer på ett 2d kvadratiskt gitter

systemet	Mättad täckning $\theta _{k}$ (bråkdel av webbplatser fyllda)
dimerer k = 2	0,906820(2), 0,906, 0,9068, 0,9062, 0,906, 0,905(9), 0,906, 0,906823(2),
trimers k = 3	0,846, 0,8366
k = 4	0,8094 0,81
k = 5	0,7868
k = 6	0,7703
k = 7	0,7579
k = 8	0,7479, 0,747
k = 9	0,7405
k = 10	0,7405
k = 16	0,7103, 0,71
k = 32	0,6892, 0,689, 0,6893(4)
k = 48	0,6809(5),
k = 64	0,6755, 0,678, 0,6765(6)
k = 96	0,6714(5)
k = 128	0,6686, 0,668(9), 0,668 0,6682(6)
k = 192	0,6655(7)
k = 256	0,6628 0,665, 0,6637(6)
k = 384	0,6634(6)
k = 512	0,6618, 0,6628(9)
k = 1024	0,6592
k = 2048	0,6596
k = 4096	0,6575
k = 8192	0,6571
k = 16384	0,6561
k = ∞	0,660(2), 0,583(10),

Asymptotiskt beteende: $\theta _{k}\sim \theta _{\infty }+\ldots$ .

Mättnadstäckning av k -merer på ett 2d triangulärt gitter

systemet	Mättad täckning $\theta _{k}$ (bråkdel av webbplatser fyllda)
dimerer k = 2	0,9142(12),
k = 3	0,8364(6),
k = 4	0,7892(5),
k = 5	0,7584(6),
k = 6	0,7371(7),
k = 8	0,7091(6),
k = 10	0,6912(6),
k = 12	0,6786(6),
k = 20	0,6515(6),
k = 30	0,6362(6),
k = 40	0,6276(6),
k = 50	0,6220(7),
k = 60	0,6183(6),
k = 70	0,6153(6),
k = 80	0,6129(7),
k = 90	0,6108(7),
k = 100	0,6090(8),
k = 128	0,6060(13),

Mättnadstäckning för partiklar med uteslutning av grannar på 2d-gitter

systemet	Mättad täckning $\theta _{k}$ (bråkdel av webbplatser fyllda)
Fyrkantigt galler med NN-uteslutning	0,3641323(1), 0,36413(1), 0,3641330(5),
Bikakegaller med NN-uteslutning	0,37913944(1), 0,38(1), 0,379

.

Mättnadstäckning av $k\times k$ rutor på ett 2d kvadratgitter

systemet	Mättad täckning $\theta _{k}$ (bråkdel av webbplatser fyllda)
k = 2	0,74793(1), 0,747943(37), 0,749(1),
k = 3	0,67961(1), 0,681(1),
k = 4	0,64793(1), 0,647927(22) 0,646(1),
k = 5	0,62968(1) 0,628(1),
k = 8	0,603355(55) 0,603(1),
k = 10	0,59476(4) 0,593(1),
k = 15	0,583(1),
k = 16	0,582233(39)
k = 20	0,57807(5) 0,578(1),
k = 30	0,574(1),
k = 32	0,571916(27)
k = 50	0,56841(10)
k = 64	0,567077(40)
k = 100	0,56516(10)
k = 128	0,564405(51)
k = 256	0,563074(52)
k = 512	0,562647(31)
k = 1024	0,562346(33)
k = 4096	0,562127(33)
k = 16384	0,562038(33)

För k = ∞, se "2d-justerade kvadrater" nedan. Asymptotiskt beteende: $\theta _{k}\sim \theta _{\infty }+0,316/k+0,114/k^{2}\ldots$ . Se även

Mättnadstäckning för slumpmässigt orienterade 2d-system

systemet	Mättad täckning
liksidiga trianglar	0,52590(4)
rutor	0,523-0,532, 0,530(1), 0,530(1), 0,52760(5)
vanliga femhörningar	0,54130(5)
vanliga hexagoner	0,53913(5)
vanliga heptagoner	0,54210(6)
vanliga oktagoner	0,54238(5)
vanliga enneagoner	0,54405(5)
regelbundna dekagoner	0,54421(6)

2d avlånga former med maximal täckning

systemet	bildförhållande	Mättad täckning
rektangel	1,618	0,553(1)
dimer	1,5098	0,5793(1)
ellips	2.0	0,583(1)
sfärocylinder	1,75	0,583(1)
utjämnad dimer	1,6347	0,5833(5)

Mättnadstäckning för 3d-system

systemet	Mättad täckning
sfärer	0,3841307(21), 0,38278(5), 0,384(1)
slumpmässigt orienterade kuber	0,3686(15), 0,36306(60)
slumpmässigt orienterade kuboider 0,75:1:1,3	0,40187(97),

Mättnadstäckningar för diskar, sfärer och hypersfärer

systemet	Mättad täckning
2d diskar	0,5470735(28), 0,547067(3), 0,547070, 0,5470690(7), 0,54700(6), 0,54711(16), 0,5472(2), 0,547(2), 0,5479
3d sfärer	0,3841307(21), 0,38278(5), 0,384(1)
4d hypersfärer	0,2600781(37), 0,25454(9),
5d hypersfärer	0,1707761(46), 0,16102(4),
6d hypersfärer	0,109302(19), 0,09394(5),
7d hypersfärer	0,068404(16),
8d hypersfärer	0,04230(21),

Mättnadstäckningar för justerade kvadrater, kuber och hyperkuber

systemet	Mättad täckning
2d-justerade rutor	0,562009(4), 0,5623(4), 0,562(2), 0,5565(15), 0,5625(5), 0,5444(24), 0,5629(6), 0,562(2),
3d-justerade kuber	0,4227(6), 0,42(1), 0,4262, 0,430(8), 0,422(8), 0,42243(5)
4D-justerade hyperkuber	0,3129, 0,3341,

Se även