Slumpmässig grupp

I matematik är slumpmässiga grupper vissa grupper som erhålls genom en probabilistisk konstruktion . De introducerades av Misha Gromov för att svara på frågor som "Hur ser en typisk grupp ut?"

Det händer att, när en exakt definition väl har getts, slumpmässiga grupper uppfyller vissa egenskaper med mycket hög sannolikhet, medan andra egenskaper misslyckas med mycket hög sannolikhet. Till exempel, mycket troligt är slumpmässiga grupper hyperboliska grupper . I denna mening kan man säga att "de flesta grupper är hyperboliska".

Definition

Definitionen av slumpmässiga grupper beror på en probabilistisk modell på uppsättningen av möjliga grupper. Olika sådana probabilistiska modeller ger olika (men relaterade) föreställningar om slumpmässiga grupper.

Vilken grupp som helst kan definieras av en grupppresentation som involverar generatorer och relationer. Till exempel har den abelska gruppen $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ en presentation med två generatorer $a$ och $b$ , och relationen $ab=ba$ , eller motsvarande $aba^{-1}b^{-1}=1$ . Huvudidén med slumpmässiga grupper är att börja med ett fast antal gruppgeneratorer $a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{ m}$ , och påtvingande relationer av formen $r_{1}=1,\,r_{2}=1,\,\ldots , \,r_{k}=1$ där varje $r_{j}$ är ett slumpmässigt ord som inbegriper bokstäverna $a_{i}$ och deras formella inverser $a_ {i}^{-1}$ . Att specificera en modell av slumpmässiga grupper är att specificera ett exakt sätt på vilket $m$ , $k$ och de slumpmässiga relationerna $r_{j}$ väljs.

När de slumpmässiga relationerna $r_{k}$ har valts, definieras den resulterande slumpmässiga gruppen $G$ på standardsättet för grupppresentationer, nämligen: $G$ är kvoten av den fria gruppen $F_{m}$ med generatorer $a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{m }$ , av den normala undergruppen $R\subset F_{m}$ genererad av relationerna $r_{1}\,r_{2},\ ,\ldots ,\,r_{k}$ ses som element i $F_{m}$ :

$G=F_{m}/\langle r_{1},\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}\rangle .$

Fårelatormodellen av slumpmässiga grupper

Den enklaste modellen av slumpmässiga grupper är få-relator-modellen . I denna modell är ett antal generatorer $m\geq 2$ och ett antal relationer $k\geq 1$ fasta. Fixa ytterligare en parameter $\ell$ (längden på relationerna), som vanligtvis tas mycket stor.

Sedan består modellen i att välja relationerna $r_{1}\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}$ slumpmässigt, enhetligt och oberoende bland alla möjliga reducerade ord av längd $\ell$ som inbegriper bokstäverna $a_{i}$ och deras formella inverser $a_{i}^{-1}$ .

Denna modell är särskilt intressant när relationslängden $\ell$ tenderar till oändlighet: med sannolikhet tenderar till $1$ som $\ell \to \infty$ en slumpmässig grupp i denna modell är hyperbolisk och tillfredsställer andra fina egenskaper.

Ytterligare anmärkningar

Mer förfinade modeller av slumpmässiga grupper har definierats.

Till exempel, i densitetsmodellen tillåts antalet relationer att växa med längden på relationerna. Sedan finns det ett skarpt "fasövergång"-fenomen: om antalet relationer är större än någon tröskel, "kollapsar den slumpmässiga gruppen" (eftersom relationerna tillåter att visa att vilket ord som helst är lika med vilket annat som helst), medan under tröskeln den resulterande slumpmässiga gruppen är oändlig och hyperbolisk.

Konstruktioner av slumpmässiga grupper kan också vridas på specifika sätt för att bygga grupper med särskilda egenskaper. Till exempel använde Gromov denna teknik för att bygga nya grupper som är motexempel till en förlängning av Baum-Connes-förmodan .

• Mikhail Gromov . Hyperboliska grupper. Uppsatser i gruppteori, 75–263, Matte. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
• Mikhail Gromov . "Slumpmässig promenad i slumpmässiga grupper." Geom. Funktion. Anal. vol. 13 (2003), 73–146.