Slug kardinal
Inom matematiken är en slug kardinal en viss typ av stort kardinaltal som introduceras av ( Rathjen 1995 ), vilket utökar definitionen av obeskrivliga kardinaler .
För en ordningsföljd λ kallas ett kardinaltal κ λ-slug om det för varje proposition φ, och sättet A ⊆ V κ med (V κ+λ , ∈, A) ⊧ φ finns ett α, λ' < κ med ( V α+λ' , ∈, A ∩ V α ) ⊧ φ. Det kallas slug om det är λ-slug för varje λ ( Definition 4.1) (inklusive λ > κ).
Denna definition utvidgar begreppet obeskrivlighet till transfinita nivåer. En λ-slug kardinal är också μ-slug för vilken ordningsföljd som helst μ < λ. (Konsekvens 4.3) Slughet utvecklades av Michael Rathjen som en del av hans ordinalanalys av Π 1 2 -förståelse . Det är i huvudsak den icke-rekursiva analogen till stabilitetsegenskapen för tillåtna ordtal .
Mer allmänt kallas ett kardinaltal κ λ-Π m -slugt om det för varje Π m proposition φ, och sättet A ⊆ V κ med (V κ+λ , ∈, A) ⊧ φ finns en α, λ' < κ med (V α+λ' , ∈, A ∩ V α ) ⊧ φ. (Definition 4.1) Π m är en av nivåerna i Lévy-hierarkin , kortfattat tittar man på formler med m-1 alternationer av kvantifierare där den yttersta kvantifieraren är universell.
För finita n är en n -Π m -slug kardinal samma sak som en Π m n -obeskrivbar kardinal. [ citat behövs ]
Om κ är en subtil kardinal är uppsättningen av κ-slug kardinaler stationär i κ. (Lemma 4.6) Rathjen anger dock inte hur listiga kardinaler står sig i jämförelse med ovikbara kardinaler .
λ-slughet är en förbättrad version av λ-obeskrivbarhet, enligt definitionen i Drake; denna kardinalegenskap skiljer sig genom att den reflekterade understrukturen måste vara (V α+λ , ∈, A ∩ V α ), vilket gör det omöjligt för en kardinal κ att vara κ-obeskrivbar. Monotonicitetsegenskapen går också förlorad: en λ-obeskrivbar kardinal kanske misslyckas med att vara α-obeskrivbar för någon ordinal α < λ.
- Drake, FR (1974). Mängdlära: En introduktion till stora kardinaler (Studier in Logic and the Foundations of Mathematics; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2 .
- Rathjen, Michael (2006). "Konsten att ordna analys" (PDF) . Arkiverad från originalet (PDF) 2009-12-22 . Hämtad 2009-08-13 .
- Rathjen, Michael (1995), "Recent advances in ordinal analysis: Π 1 2 -CA and related systems", The Bulletin of Symbolic Logic , 1 (4): 468–485, doi : 10.2307/421132 , ISSN 1079-8986 , JSTOR 421132 , MR 1369172 , S2CID 10648711