Slankkroppsteori

Inom vätskedynamik och elektrostatik är slankkroppsteori en metod som kan användas för att dra fördel av en kropps slankhet för att få en approximation till ett fält som omger den och/eller fältets nettoeffekt på kroppen. De huvudsakliga tillämpningarna är till Stokes-flöde - vid mycket låga Reynolds-tal - och i elektrostatik .

Teori för Stokes flow

Betrakta en smal kropp med längd $\ell$ och typisk diameter $2a$ med $\ell \gg a$ , omgiven av vätska med viskositet $\mu$ vars rörelse styrs av Stokes ekvationer . Observera att Stokes paradox innebär att gränsen för oändligt bildförhållande $\ell /a\rightarrow \infty$ är singular, eftersom inget Stokes-flöde kan existera runt en oändlig cylinder.

Teorin om slank kropp tillåter oss att härleda ett ungefärligt förhållande mellan kroppens hastighet vid varje punkt längs dess längd och kraften per längdenhet som kroppen upplevt vid den punkten.

Låt kroppens axel beskrivas med ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}(s,t)} ,$ där $s$ är en båglängdskoordinat, och ${\ displaystyle t}$ är tid. På grund av kroppens slankhet kan kraften som utövas på vätskan vid kroppens yta approximeras av en fördelning av Stokeslets längs axeln med kraftdensitet ${\boldsymbol {f}}( s)$ per längdenhet. ${\boldsymbol {f}}$ antas endast variera över längder som är mycket större än $a$ , och vätskehastigheten vid ytan intill ${\boldsymbol {X}}(s,t)$ är väl approximerad av $\partial {\boldsymbol {X}}/\partial t$ .

Vätskehastigheten ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})$ i en allmän punkt ${\boldsymbol {x}}$ på grund av en sådan fördelning kan vara skriven i termer av en integral av Oseen-tensoren (uppkallad efter Carl Wilhelm Oseen ), som fungerar som en grön funktion för en enda Stokeslet. Vi har

${\boldsymbol {u }}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{\ell }{\frac {{\boldsymbol {f}}(s)}{8\pi \mu }}\cdot \left ({\frac {\mathbf {I} }{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}|}}+{\frac {({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X }})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}})}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}|^{3}}}\höger)\, \mathrm {d} s$

där $\mathbf {I}$ är identitetens tensor.

Asymptotisk analys kan sedan användas för att visa att ledande ordningens bidrag till integralen för en punkt ${\boldsymbol {x}}$ på kroppens yta intill position $s_{0}$ kommer från kraftfördelningen vid $|s-s_{0}|=O(a)$ . Eftersom $a\ll \ell$ uppskattar vi ${\boldsymbol {f}}(s)\approx {\boldsymbol {f}}(s_{ 0})$ . Vi får då

${\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial t} }\sim {\frac {\ln(\ell /a)}{4\pi \mu }}{\boldsymbol {f}}(s)\cdot {\Bigl (}\mathbf {I} +{\boldsymbol {X}}'{\boldsymbol {X}}'{\Bigr )}$

där ${\boldsymbol {X}}'=\partial {\boldsymbol {X}}/\partial s$ .

Uttrycket kan inverteras för att ge kraftdensiteten i termer av kroppens rörelse:

${\boldsymbol {f}}(s)\sim {\frac {4 \pi \mu }{\ln(\ell /a)}}{\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial t}}\cdot {\Bigl (}\mathbf {I} -\ textstil {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {X}}'{\boldsymbol {X}}'{\Bigr )}$

Två kanoniska resultat som följer omedelbart är för dragkraften $F$ på en stel cylinder (längd ${\displaystyle \ell } ,$ radie $a$ ) som flyttar en hastighet $u$ antingen parallellt till dess axel eller vinkelrätt mot den. Det parallella fallet ger

$F\sim {\frac {2\pi \mu \ell u}{\ln(\ell /a)}}$

medan det vinkelräta fallet ger

$F\sim {\frac {4\pi \mu \ell u}{\ln(\ell /a)}}$

med bara en faktor två skillnad.

Observera att den dominerande längdskalan i uttrycken ovan är den längre längden $\displaystyle \ell }$ ; den kortare längden har endast en svag effekt genom logaritmen av bildförhållandet. I slankkroppsteoriresultat finns det $O(1)$ korrigeringar av logaritmen, så även för relativt stora värden på $\ell /a$ kommer feltermerna inte att vara så liten.

• Batchelor, GK (1970), "Slankkroppsteori för partiklar med godtyckligt tvärsnitt i Stokes-flöde", J. Fluid Mech. , 44 (3): 419–440, Bibcode : 1970JFM....44..419B , doi : 10.1017/S002211207000191X
• Cox, RG (1970), "Rörelsen av långa smala kroppar i en trögflytande vätska. Del 1. Allmän teori", J. Fluid Mech. , 44 (4): 791–810, Bibcode : 1970JFM....44..791C , doi : 10.1017/S002211207000215X
•   Hinch, EJ (1991), Perturbation Methods , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37897-0