Skalär projektion

Om 0° ≤ θ ≤ 90°, som i detta fall, sammanfaller den skalära projektionen av a på b med längden på vektorprojektionen .

Vektorprojektion av a på b ( a ₁ ), och vektoravvisning av a från b ( a ₂ ).

Inom matematik är den skalära projektionen av en vektor $\mathbf {a}$ på (eller på) en vektor $\mathbf {b}$ , även känd som skalärupplösningen av $\mathbf {a}$ i riktning mot $\mathbf {b}$ , ges av:

s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat { b}} ,

där operatorn $\cdot$ anger en punktprodukt , ${\hat {\mathbf {b} }}$ är enhetsvektorn i riktning mot $\mathbf {b}$ , $\left\|\mathbf {a} \right\|$ är längden på $\mathbf {a}$ , och $\theta$ är vinkeln mellan $\mathbf {a}$ och $\mathbf {b}$ .

Termen skalär komponent hänvisar ibland till skalär projektion, eftersom, i kartesiska koordinater , komponenterna i en vektor är de skalära projektionerna i koordinataxlarnas riktningar .

Den skalära projektionen är en skalär , lika med längden på den ortogonala projektionen av $\mathbf {a}$ på $\mathbf {b}$ , med negativt tecken om projektionen har motsatt riktning med respekt för $\mathbf {b}$ .

Genom att multiplicera den skalära projektionen av $\mathbf {a}$ på $\mathbf {b}$ med $\mathbf {\hat {b}}$ omvandlas den till den ovan nämnda ortogonalen projektion, även kallad vektorprojektion av $\mathbf {a}$ på $\mathbf {b}$ .

Definition baserad på vinkeln θ

Om vinkeln $\theta$ mellan $\mathbf {a}$ och $\mathbf {b}$ är känd, är den skalära projektionen av $\mathbf {a}$ på $\mathbf {b}$ kan beräknas med hjälp av

s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta .

(

s=\left\|\mathbf {a} _{1}\ höger\|

i figuren)

Definition i termer av a och b

När $\theta$ inte är känd, kan cosinus för $\theta$ beräknas i termer av $\mathbf {a}$ och $\mathbf {b}$ , av följande egenskap för punktprodukten a $\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ :

{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\ |\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta

blir definitionen av den skalära projektionen ${\displaystyle s\,} :$

s=\thb 1 {|\} }\right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,

Egenskaper

Den skalära projektionen har ett negativt tecken om $90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }$ . Den sammanfaller med längden på motsvarande vektorprojektion om vinkeln är mindre än 90°. Mer exakt, om vektorprojektionen betecknas $\mathbf {a} _{1}$ och dess längd $\left\|\mathbf {a} _{1}\right\ |$ :

s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|

om

0^{\circ }<\theta \leq 90^{\circ }

,

s=-\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|

om

90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }

.

Se även

Källor