Sigma approximation

Animation av den additiva syntesen av en fyrkantvåg med ett ökande antal övertoner genom σ-approximationen

I matematik justerar σ-approximation en Fourier-summering för att kraftigt reducera Gibbs-fenomenet , som annars skulle inträffa vid diskontinuiteter .

En σ-approximerad summering för en serie av period T kan skrivas på följande sätt:

$$s(\theta )={\frac {1}{2}}a_{0}+\summa _{k=1}^{m-1}\operatörsnamn {sinc} {\frac {k}{m}} \cdot \left[a_{k}\cos \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)+b_{k}\sin \left({\frac {2\pi k }{T}}\theta \right)\right],$$

i termer av den normaliserade sinc-funktionen

$$\operatörsnamn {sinc} x={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}.$$

Termen

$$\operatorname {sinc} {\frac {k}{m}}$$

är Lanczos σ-faktorn , som är ansvarig för att eliminera det mesta av Gibbs-fenomenet. Det gör det dock inte helt, men man kan kvadrera eller till och med kuba uttrycket för att seriellt försvaga Gibbs-fenomenet i de mest extrema fallen.

Se även

• Lanczos omsampling