Sicherman tärningar

Jämförelse av summatabeller av normala (N) och Sicherman (S) tärningar. Om noll tillåts har normala tärningar en variant (N') och Sicherman-tärningar har två (S' och S"). Varje bord har 1 tvåa, 2 treor, 3 fyror osv.

Sichermantärningar / ˈ s ɪ k ər m ən / är ett par 6-sidiga tärningar med icke-standardiserade siffror – en med sidorna 1, 2, 2, 3, 3, 4 och den andra med sidorna 1, 3, 4, 5, 6, 8. De är anmärkningsvärda som det enda paret av 6-sidiga tärningar som inte är normala tärningar , bara har positiva heltal och har samma sannolikhetsfördelning för summan som normala tärningar. De uppfanns 1978 av George Sicherman från Buffalo, New York.

Matematik

En standardövning i elementär kombinatorik är att beräkna antalet sätt att kasta ett givet värde med ett par rättvisa sexsidiga tärningar ( genom att ta summan av de två kasten). Tabellen visar antalet sådana sätt att rulla ett givet värde $n$ :

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
# av sätt	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Galna tärningar är en matematisk övning i elementär kombinatorik , som involverar en ommärkning av ytorna på ett par sexsidiga tärningar för att återge samma frekvens av summor som standardmärkningen. Sicherman-tärningarna är galna tärningar som är ommärkta med endast positiva heltal . (Om heltalen inte behöver vara positiva, för att få samma sannolikhetsfördelning, kan talet på varje sida av en tärning minskas med k och talet på den andra tärningen ökas med k , för vilket naturligt tal k som helst , vilket ger oändligt många lösningar. )

Tabellen nedan listar alla möjliga totala tärningskast med standardtärningar och Sichermantärningar. En Sicherman-tärning är färgad för tydlighetens skull: 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 , och den andra är helsvart, 1–3–4–5–6–8.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Standardtärningar	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+1	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4 +3 5+ 2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
Sicherman tärningar	1 +1	2 +1 2 +1	1 +3 3 +1 3 +1	1 +4 2 +3 2 +3 4 +1	1 +5 2 +4 2 +4 3 +3 3 +3	1 +6 2 +5 2 +5 3 +4 3 +4 4 +3	2 +6 2 +6 3 +5 3 +5 4 +4	1 +8 3 +6 3 +6 4 +5	2 +8 2 +8 4 +6	3 +8 3 +8	4 +8

Historia

Sicherman-tärningarna upptäcktes av George Sicherman från Buffalo, New York och rapporterades ursprungligen av Martin Gardner i en artikel från 1978 i Scientific American .

Siffrorna kan ordnas så att alla par av tal på motsatta sidor summeras till lika tal, 5 för det första och 9 för det andra.

Senare, i ett brev till Sicherman, nämnde Gardner att en magiker han kände hade förutsett Sichermans upptäckt. För generaliseringar av Sicherman-tärningarna till mer än två tärningar och icke-kubiska tärningar, se Broline (1979), Gallian och Rusin (1979), Brunson och Swift (1997/1998) och Fowler och Swift (1999).

Matematisk motivering

Låt en kanonisk n -sidig tärning vara en n -hedron vars ytor är markerade med heltal [1,n] så att sannolikheten för att kasta varje nummer är 1/ n . Betrakta den kanoniska kubiska (sexsidiga) formen. Genereringsfunktionen för kasten av en sådan tärning är $x^{2}+x^{3}+x^{4}+ x^{5}+x^{6}}$ + . Produkten av detta polynom med sig själv ger den genererande funktionen för kasten av ett tärningspar: $x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+ 5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}$ . Från teorin om cyklotomiska polynom vet vi det

x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x).

där d sträcker sig över divisorerna för n och $\Phi _{d}(x)$ är det d -te cyklotomiska polynomet, och

{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\ summa _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}

.

Vi härleder därför den genererande funktionen av en enda n -sidig kanonisk form som varande

x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{ x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x)

$\Phi _{1}(x)=x-1$ och avbryts. Sålunda faktoriseringen av genereringsfunktionen hos en sexsidig kanonform

x\,\Phi _{2 }(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\; (x^{2}-x+1)

Den genererande funktionen för att kasta två tärningar är produkten av två kopior av var och en av dessa faktorer. Hur kan vi dela upp dem för att bilda två lagliga tärningar vars fläckar inte är ordnade traditionellt? Här legal att koefficienterna är icke-negativa och summerar till sex, så att varje tärning har sex sidor och varje sida har minst en fläck. (Det vill säga, den genererande funktionen för varje tärning måste vara ett polynom p(x) med positiva koefficienter, och med p(0) = 0 och p(1) = 6.) Endast en sådan partition existerar:

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1 )=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}

och

x\;(x+1 )\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5 }+x^{6}+x^{8}

Detta ger oss fördelningen av fläckar på sidorna av ett par Sicherman-tärningar som {1,2,2,3,3,4} och {1,3,4,5,6,8}, enligt ovan.

Denna teknik kan utökas för tärningar med ett godtyckligt antal sidor.

Broline, D. (1979), "Omnumrering av tärningarnas ansikten", Mathematics Magazine , Mathematics Magazine, Vol. 52, nr 5, 52 (5): 312–315, doi : 10.2307/2689786 , JSTOR 2689786

Brunson, BW; Swift, Randall J. (1998), "Equally likely sums", Mathematical Spectrum , 30 (2): 34–36

Fowler, Brian C.; Swift, Randall J. (1999), "Relabeling dice", College Mathematics Journal , The College Mathematics Journal, Vol. 30, nr 3, 30 (3): 204–208, doi : 10.2307/2687599 , JSTOR 2687599

Gallian, JA; Rusin, DJ (1979), "Cyclotomic polynomials and nonstandard dice", Discrete Mathematics , 27 (3): 245–259, doi : 10.1016/0012-365X(79)90161-4 , MR 0541471

, Martin (1 Gardner), "Mathematical Games", Scientific American , 238 (2): 19–32, doi : 10.1038/scientificamerican0278-19

Newman, Donald J. (1998). Analytisk talteori . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98308-2 .

Se även

Tvåkubskalender

externa länkar

Mathworlds informationssida

Den här artikeln innehåller material från Crazy dice på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .