Shapiro polynom

Inom matematiken är Shapiropolynomen en sekvens av polynom som först studerades av Harold S. Shapiro 1951 när man övervägde storleken på specifika trigonometriska summor . Vid signalbehandling har Shapiro-polynomen goda autokorrelationsegenskaper och deras värden på enhetscirkeln är små. De första medlemmarna i sekvensen är:

${\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3 }\\P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^ {7}\\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+xx^{2}+x^{3} \\Q_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{ 7}\\...\\\end{aligned}}$

där den andra sekvensen, indikerad med Q , sägs vara komplementär till den första sekvensen, indikerad med P .

Konstruktion

₀ Shapiropolynomen P _n ( z ) kan konstrueras från Golay–Rudin–Shapiro-sekvensen a _n , som är lika med 1 om antalet par av på varandra följande ettor i den binära expansionen av n är jämnt, och −1 annars. Alltså a = 1, a ₁ = 1, a ₂ = 1, a ₃ = −1, etc.

Den första Shapiro P _n ( z ) är partialsumman av ordningen 2 ⁿ − 1 (där n = 0, 1, 2, ...) av potensserien

₀   f ( z ) := a + a ₁ z + a ₂ z ² + ...

₀ Golay–Rudin–Shapiro-sekvensen { a _n } har en fraktalliknande struktur – till exempel a _n = a _{2 n} – vilket innebär att undersekvensen ( a , a ₂ , a ₄ , ...) replikerar den ursprungliga sekvensen { a _n }. Detta leder i sin tur till anmärkningsvärda funktionella ekvationer som uppfylls av f ( z ).

De andra eller komplementära Shapiro-polynomen Qn ( z ) kan definieras i termer _{av denna} ^{- sekvens ,} eller av relationen Qn ( z ) = (1-) ^nz2n 1Pn (-1/ _z ) _, eller av rekursionerna

$P_{0}(z)=1;~~Q_{0}(z)=1;$

$P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z);$

$Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z).$

Egenskaper

Nollor för polynomet av grad 255

Sekvensen av komplementära polynom Q _n som motsvarar P _n kännetecknas unikt av följande egenskaper:

• (i) Qn är _av grad 2 ⁿ − 1;
• (ii) koefficienterna för Q _n är alla 1 eller −1, och dess konstanta term är lika med 1; och
• iii) identiteten | Pn ₍ z ) | ² + | Qn ₍ z ) | ² = 2 ^{( n + 1)} gäller enhetscirkeln, där den komplexa variabeln z har ett absolut värde.

Den mest intressanta egenskapen hos { P _{n } är att} det absoluta värdet av P _n ( z ) begränsas på enhetscirkeln av kvadratroten ur 2 ^{( n + 1 )} , vilket är i storleksordningen L ² -normen P _n . Polynom med koefficienter från mängden {−1, 1} vars maximala modul på enhetscirkeln är nära deras medelmodul är användbara för olika tillämpningar inom kommunikationsteori (t.ex. antenndesign och datakomprimering ) . Egenskap (iii) visar att ( P , Q ) bildar ett Golay-par .

Dessa polynom har ytterligare egenskaper:

$P_{n+1}(z)=P_{n}(z^{2})+zP_{n}(-z^{2});\,$

$Q_{n+1}(z)=Q_{n}(z^{2})+zQ_{n}(-z^{2});\,$

$P_{n}(z)P_{n}(1/z)+Q_{n}(z)Q_{n}(1/z)=2^{n+1};\,$

$P_{n+k+1}(z)=P_{n}(z)P_{k}(z^{2^{n+1}})+z^{2^{n}}Q_ {n}(z)P_{k}(-z^{2^{n+1}});\,$

$P_{n}(1)=2^{\lfloor (n+1)/2\rfloor };{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1)^ {n})2^{\lgolv n/2\rgolv -1}.\,$

Se även

• Littlewood polynom

Anteckningar

•   Borwein, Peter B (2002). Beräkningsexkursioner i analys och talteori . Springer. ISBN 978-0-387-95444-8 . Hämtad 2007-03-30 . Kapitel 4.
•    Mendès Frankrike, Michel (1990). "Rudin-Shapiro-sekvensen, Ising-kedjan och pappersvikning". I Berndt, Bruce C .; Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini ; et al. (red.). Analytisk talteori. Handlingar från en konferens till Paul T. Batemans ära, som hölls den 25-27 april 1989, vid University of Illinois, Urbana, IL (USA) . Framsteg i matematik. Vol. 85. Boston: Birkhäuser. s. 367–390. ISBN 978-0-8176-3481-0 . Zbl 0724.11010 .